Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 52486 / 49892
S 68.081508°
E108.314209°
← 228.02 m → S 68.081508°
E108.319702°

228.02 m

228.02 m
S 68.083559°
E108.314209°
← 228 m →
51 991 m²
S 68.083559°
E108.319702°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52486 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49892 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.800880432128906 y=0.761299133300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.800880432128906 × 216)
    floor (0.800880432128906 × 65536)
    floor (52486.5)
    tx = 52486
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761299133300781 × 216)
    floor (0.761299133300781 × 65536)
    floor (49892.5)
    ty = 49892
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52486 / 49892 ti = "16/52486/49892"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52486/49892.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52486 ÷ 216
    52486 ÷ 65536
    x = 0.800872802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49892 ÷ 216
    49892 ÷ 65536
    y = 0.76129150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.800872802734375 × 2 - 1) × π
    0.60174560546875 × 3.1415926535
    Λ = 1.89043957
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.76129150390625 × 2 - 1) × π
    -0.5225830078125 × 3.1415926535
    Φ = -1.64174293818768
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89043957} λ = 1.89043957}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64174293818768))-π/2
    2×atan(0.193642241535968)-π/2
    2×0.191274923525396-π/2
    0.382549847050793-1.57079632675
    φ = -1.18824648
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89043957} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.314209°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18824648 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.081508°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52486 KachelY 49892 1.89043957 -1.18824648 108.314209 -68.081508
    Oben rechts KachelX + 1 52487 KachelY 49892 1.89053545 -1.18824648 108.319702 -68.081508
    Unten links KachelX 52486 KachelY + 1 49893 1.89043957 -1.18828227 108.314209 -68.083559
    Unten rechts KachelX + 1 52487 KachelY + 1 49893 1.89053545 -1.18828227 108.319702 -68.083559
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-1.18824648--1.18828227) × R
    3.5789999999869e-05 × 6371000
    dl = 228.018089999165m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-1.18824648--1.18828227) × R
    3.5789999999869e-05 × 6371000
    dr = 228.018089999165m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(1.89043957-1.89053545) × cos(-1.18824648) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.373287213581963 × 6371000
    do = 228.023046881469m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(1.89043957-1.89053545) × cos(-1.18828227) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.373254010393436 × 6371000
    du = 228.002764664616m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-1.18824648)-sin(-1.18828227))×
    abs(λ12)×abs(0.373287213581963-0.373254010393436)×
    abs(1.89053545-1.89043957)×3.3203188527231e-05×
    9.58799999999371e-05×3.3203188527231e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.3203188527231e-05×40589641000000
    ar = 51991.0672750595m²