Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52483 / 26884
↖ ↑ ↗
← N 30.732393°
E108.297729°		 ← 525.07 m → N 30.732393°
E108.303223°		 →
↑
525.03 m
↓
↑
525.03 m
↓
N 30.727671°
E108.297729°		 ← 525.09 m →
275 684 m²		 N 30.727671°
E108.303223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52483 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26884 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.800834655761719 y=0.410224914550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.800834655761719 × 216)
    floor (0.800834655761719 × 65536)
    floor (52483.5)     		tx = 52483
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.410224914550781 × 216)
    floor (0.410224914550781 × 65536)
    floor (26884.5)     		ty = 26884
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52483 / 26884 ti = "16/52483/26884"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52483/26884.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52483 ÷ 216
    52483 ÷ 65536     		x = 0.800827026367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26884 ÷ 216
    26884 ÷ 65536     		y = 0.41021728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.800827026367188 × 2 - 1) × π
    0.601654052734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.89015195
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41021728515625 × 2 - 1) × π
    0.1795654296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.564121434728821
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89015195} λ = 1.89015195}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.564121434728821))-π/2
    2×atan(1.75790267184323)-π/2
    2×1.05358888350271-π/2
    2.10717776700543-1.57079632675     		φ = 0.53638144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89015195} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.297729°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53638144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.732393°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52483 KachelY 26884 1.89015195 0.53638144 108.297729 30.732393
    Oben rechts KachelX + 1 52484 KachelY 26884 1.89024783 0.53638144 108.303223 30.732393
    Unten links KachelX 52483 KachelY + 1 26885 1.89015195 0.53629903 108.297729 30.727671
    Unten rechts KachelX + 1 52484 KachelY + 1 26885 1.89024783 0.53629903 108.303223 30.727671
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53638144-0.53629903) × R
    8.24099999999772e-05 × 6371000     		dl = 525.034109999855m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53638144-0.53629903) × R
    8.24099999999772e-05 × 6371000     		dr = 525.034109999855m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89015195-1.89024783) × cos(0.53638144) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.859563493835188 × 6371000     		do = 525.065632364067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89015195-1.89024783) × cos(0.53629903) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.85960560481308 × 6371000     		du = 525.091355917237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53638144)-sin(0.53629903))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859563493835188-0.85960560481308)×R²
    abs(1.89024783-1.89015195)×4.21109778926398e-05×R²
    9.58800000001592e-05×4.21109778926398e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×4.21109778926398e-05×40589641000000     		ar = 275684.120007341m²