Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52452 / 48740
↖ ↑ ↗
← S 65.594800°
E108.127441°		 ← 252.40 m → S 65.594800°
E108.132935°		 →
↑
252.36 m
↓
↑
252.36 m
↓
S 65.597070°
E108.127441°		 ← 252.37 m →
63 691 m²		 S 65.597070°
E108.132935°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52452 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48740 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.800361633300781 y=0.743721008300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.800361633300781 × 216)
    floor (0.800361633300781 × 65536)
    floor (52452.5)     		tx = 52452
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743721008300781 × 216)
    floor (0.743721008300781 × 65536)
    floor (48740.5)     		ty = 48740
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52452 / 48740 ti = "16/52452/48740"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52452/48740.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52452 ÷ 216
    52452 ÷ 65536     		x = 0.80035400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48740 ÷ 216
    48740 ÷ 65536     		y = 0.74371337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80035400390625 × 2 - 1) × π
    0.6007080078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.88717986
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74371337890625 × 2 - 1) × π
    -0.4874267578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.53129632146307
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.88717986} λ = 1.88717986}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53129632146307))-π/2
    2×atan(0.216255149342962)-π/2
    2×0.212975543593255-π/2
    0.425951087186511-1.57079632675     		φ = -1.14484524
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.88717986} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.127441°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14484524 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.594800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52452 KachelY 48740 1.88717986 -1.14484524 108.127441 -65.594800
    Oben rechts KachelX + 1 52453 KachelY 48740 1.88727574 -1.14484524 108.132935 -65.594800
    Unten links KachelX 52452 KachelY + 1 48741 1.88717986 -1.14488485 108.127441 -65.597070
    Unten rechts KachelX + 1 52453 KachelY + 1 48741 1.88727574 -1.14488485 108.132935 -65.597070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14484524--1.14488485) × R
    3.96099999999677e-05 × 6371000     		dl = 252.355309999794m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14484524--1.14488485) × R
    3.96099999999677e-05 × 6371000     		dr = 252.355309999794m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.88717986-1.88727574) × cos(-1.14484524) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.413187072035661 × 6371000     		do = 252.395934469685m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.88717986-1.88727574) × cos(-1.14488485) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.413151001016816 × 6371000     		du = 252.373900434438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14484524)-sin(-1.14488485))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413187072035661-0.413151001016816)×R²
    abs(1.88727574-1.88717986)×3.6071018844952e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.6071018844952e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.6071018844952e-05×40589641000000     		ar = 63690.674091376m²