Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52452 / 48738
↖ ↑ ↗
← S 65.590261°
E108.127441°		 ← 252.44 m → S 65.590261°
E108.132935°		 →
↑
252.36 m
↓
↑
252.36 m
↓
S 65.592530°
E108.127441°		 ← 252.42 m →
63 702 m²		 S 65.592530°
E108.132935°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52452 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48738 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.800361633300781 y=0.743690490722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.800361633300781 × 216)
    floor (0.800361633300781 × 65536)
    floor (52452.5)     		tx = 52452
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743690490722656 × 216)
    floor (0.743690490722656 × 65536)
    floor (48738.5)     		ty = 48738
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52452 / 48738 ti = "16/52452/48738"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52452/48738.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52452 ÷ 216
    52452 ÷ 65536     		x = 0.80035400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48738 ÷ 216
    48738 ÷ 65536     		y = 0.743682861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80035400390625 × 2 - 1) × π
    0.6007080078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.88717986
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743682861328125 × 2 - 1) × π
    -0.48736572265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.53110457386459
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.88717986} λ = 1.88717986}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53110457386459))-π/2
    2×atan(0.216296619724303)-π/2
    2×0.21301516086641-π/2
    0.42603032173282-1.57079632675     		φ = -1.14476601
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.88717986} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.127441°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14476601 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.590261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52452 KachelY 48738 1.88717986 -1.14476601 108.127441 -65.590261
    Oben rechts KachelX + 1 52453 KachelY 48738 1.88727574 -1.14476601 108.132935 -65.590261
    Unten links KachelX 52452 KachelY + 1 48739 1.88717986 -1.14480562 108.127441 -65.592530
    Unten rechts KachelX + 1 52453 KachelY + 1 48739 1.88727574 -1.14480562 108.132935 -65.592530
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14476601--1.14480562) × R
    3.96100000001898e-05 × 6371000     		dl = 252.355310001209m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14476601--1.14480562) × R
    3.96100000001898e-05 × 6371000     		dr = 252.355310001209m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.88717986-1.88727574) × cos(-1.14476601) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.413259221234616 × 6371000     		do = 252.440006914647m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.88717986-1.88727574) × cos(-1.14480562) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.413223151512533 × 6371000     		du = 252.417973671529m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14476601)-sin(-1.14480562))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413259221234616-0.413223151512533)×R²
    abs(1.88727574-1.88717986)×3.60697220834205e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.60697220834205e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.60697220834205e-05×40589641000000     		ar = 63701.7961070493m²