Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5245 / 7554
↖ ↑ ↗
← N 69.154740°
W122.376709°		 ← 434.71 m → N 69.154740°
W122.365723°		 →
↑
434.69 m
↓
↑
434.69 m
↓
N 69.150831°
W122.376709°		 ← 434.79 m →
188 984 m²		 N 69.150831°
W122.365723°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5245 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7554 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.160079956054688 y=0.230545043945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.160079956054688 × 215)
    floor (0.160079956054688 × 32768)
    floor (5245.5)     		tx = 5245
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230545043945312 × 215)
    floor (0.230545043945312 × 32768)
    floor (7554.5)     		ty = 7554
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5245 / 7554 ti = "15/5245/7554"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5245/7554.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5245 ÷ 215
    5245 ÷ 32768     		x = 0.160064697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7554 ÷ 215
    7554 ÷ 32768     		y = 0.23052978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.160064697265625 × 2 - 1) × π
    -0.67987060546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.13587650
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23052978515625 × 2 - 1) × π
    0.5389404296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.69313129458038
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.13587650} λ = -2.13587650}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69313129458038))-π/2
    2×atan(5.43647729246494)-π/2
    2×1.38888712043237-π/2
    2.77777424086474-1.57079632675     		φ = 1.20697791
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.13587650} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.376709°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20697791 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.154740°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5245 KachelY 7554 -2.13587650 1.20697791 -122.376709 69.154740
    Oben rechts KachelX + 1 5246 KachelY 7554 -2.13568475 1.20697791 -122.365723 69.154740
    Unten links KachelX 5245 KachelY + 1 7555 -2.13587650 1.20690968 -122.376709 69.150831
    Unten rechts KachelX + 1 5246 KachelY + 1 7555 -2.13568475 1.20690968 -122.365723 69.150831
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20697791-1.20690968) × R
    6.82299999998914e-05 × 6371000     		dl = 434.693329999308m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20697791-1.20690968) × R
    6.82299999998914e-05 × 6371000     		dr = 434.693329999308m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.13587650--2.13568475) × cos(1.20697791) × R
    0.000191750000000379 × 0.355845300610698 × 6371000     		do = 434.714586154937m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.13587650--2.13568475) × cos(1.20690968) × R
    0.000191750000000379 × 0.355909063779131 × 6371000     		du = 434.792481744199m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20697791)-sin(1.20690968))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355845300610698-0.355909063779131)×R²
    abs(-2.13568475--2.13587650)×6.37631684330398e-05×R²
    0.000191750000000379×6.37631684330398e-05×6371000²
    0.000191750000000379×6.37631684330398e-05×40589641000000     		ar = 188984.461474009m²