Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52442 / 48731
↖ ↑ ↗
← S 65.574365°
E108.072510°		 ← 252.57 m → S 65.574365°
E108.078003°		 →
↑
252.55 m
↓
↑
252.55 m
↓
S 65.576637°
E108.072510°		 ← 252.55 m →
63 782 m²		 S 65.576637°
E108.078003°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52442 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48731 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.800209045410156 y=0.743583679199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.800209045410156 × 216)
    floor (0.800209045410156 × 65536)
    floor (52442.5)     		tx = 52442
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743583679199219 × 216)
    floor (0.743583679199219 × 65536)
    floor (48731.5)     		ty = 48731
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52442 / 48731 ti = "16/52442/48731"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52442/48731.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52442 ÷ 216
    52442 ÷ 65536     		x = 0.800201416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48731 ÷ 216
    48731 ÷ 65536     		y = 0.743576049804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.800201416015625 × 2 - 1) × π
    0.60040283203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.88622113
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743576049804688 × 2 - 1) × π
    -0.487152099609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.53043345726991
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.88622113} λ = 1.88622113}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53043345726991))-π/2
    2×atan(0.216441828695799)-π/2
    2×0.213153875808738-π/2
    0.426307751617476-1.57079632675     		φ = -1.14448858
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.88622113} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.072510°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14448858 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.574365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52442 KachelY 48731 1.88622113 -1.14448858 108.072510 -65.574365
    Oben rechts KachelX + 1 52443 KachelY 48731 1.88631700 -1.14448858 108.078003 -65.574365
    Unten links KachelX 52442 KachelY + 1 48732 1.88622113 -1.14452822 108.072510 -65.576637
    Unten rechts KachelX + 1 52443 KachelY + 1 48732 1.88631700 -1.14452822 108.078003 -65.576637
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14448858--1.14452822) × R
    3.96400000000074e-05 × 6371000     		dl = 252.546440000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14448858--1.14452822) × R
    3.96400000000074e-05 × 6371000     		dr = 252.546440000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.88622113-1.88631700) × cos(-1.14448858) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.413511836811084 × 6371000     		do = 252.567972674441m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.88622113-1.88631700) × cos(-1.14452822) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.413475744316044 × 6371000     		du = 252.545927819881m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14448858)-sin(-1.14452822))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413511836811084-0.413475744316044)×R²
    abs(1.88631700-1.88622113)×3.60924950407182e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.60924950407182e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.60924950407182e-05×40589641000000     		ar = 63782.3586904841m²