Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52441 / 48899
↖ ↑ ↗
← S 65.953188°
E108.067016°		 ← 248.91 m → S 65.953188°
E108.072510°		 →
↑
248.85 m
↓
↑
248.85 m
↓
S 65.955426°
E108.067016°		 ← 248.89 m →
61 939 m²		 S 65.955426°
E108.072510°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52441 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48899 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.800193786621094 y=0.746147155761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.800193786621094 × 216)
    floor (0.800193786621094 × 65536)
    floor (52441.5)     		tx = 52441
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746147155761719 × 216)
    floor (0.746147155761719 × 65536)
    floor (48899.5)     		ty = 48899
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52441 / 48899 ti = "16/52441/48899"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52441/48899.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52441 ÷ 216
    52441 ÷ 65536     		x = 0.800186157226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48899 ÷ 216
    48899 ÷ 65536     		y = 0.746139526367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.800186157226562 × 2 - 1) × π
    0.600372314453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.88612525
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746139526367188 × 2 - 1) × π
    -0.492279052734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.54654025554225
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.88612525} λ = 1.88612525}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54654025554225))-π/2
    2×atan(0.212983569330346)-π/2
    2×0.20984802402572-π/2
    0.41969604805144-1.57079632675     		φ = -1.15110028
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.88612525} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.067016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15110028 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.953188°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52441 KachelY 48899 1.88612525 -1.15110028 108.067016 -65.953188
    Oben rechts KachelX + 1 52442 KachelY 48899 1.88622113 -1.15110028 108.072510 -65.953188
    Unten links KachelX 52441 KachelY + 1 48900 1.88612525 -1.15113934 108.067016 -65.955426
    Unten rechts KachelX + 1 52442 KachelY + 1 48900 1.88622113 -1.15113934 108.072510 -65.955426
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15110028--1.15113934) × R
    3.90599999999797e-05 × 6371000     		dl = 248.85125999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15110028--1.15113934) × R
    3.90599999999797e-05 × 6371000     		dr = 248.85125999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.88612525-1.88622113) × cos(-1.15110028) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.407482897917897 × 6371000     		do = 248.911531267673m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.88612525-1.88622113) × cos(-1.15113934) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.407447227513599 × 6371000     		du = 248.889741948416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15110028)-sin(-1.15113934))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407482897917897-0.407447227513599)×R²
    abs(1.88622113-1.88612525)×3.56704042970835e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.56704042970835e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.56704042970835e-05×40589641000000     		ar = 61939.2370427598m²