Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52433 / 48822
↖ ↑ ↗
← S 65.780251°
E108.023071°		 ← 250.59 m → S 65.780251°
E108.028565°		 →
↑
250.57 m
↓
↑
250.57 m
↓
S 65.782505°
E108.023071°		 ← 250.57 m →
62 789 m²		 S 65.782505°
E108.028565°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52433 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48822 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.800071716308594 y=0.744972229003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.800071716308594 × 216)
    floor (0.800071716308594 × 65536)
    floor (52433.5)     		tx = 52433
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744972229003906 × 216)
    floor (0.744972229003906 × 65536)
    floor (48822.5)     		ty = 48822
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52433 / 48822 ti = "16/52433/48822"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52433/48822.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52433 ÷ 216
    52433 ÷ 65536     		x = 0.800064086914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48822 ÷ 216
    48822 ÷ 65536     		y = 0.744964599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.800064086914062 × 2 - 1) × π
    0.600128173828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.88535826
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744964599609375 × 2 - 1) × π
    -0.48992919921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.53915797300076
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.88535826} λ = 1.88535826}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53915797300076))-π/2
    2×atan(0.214561692122957)-π/2
    2×0.21135718003532-π/2
    0.422714360070641-1.57079632675     		φ = -1.14808197
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.88535826} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.023071°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14808197 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.780251°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52433 KachelY 48822 1.88535826 -1.14808197 108.023071 -65.780251
    Oben rechts KachelX + 1 52434 KachelY 48822 1.88545414 -1.14808197 108.028565 -65.780251
    Unten links KachelX 52433 KachelY + 1 48823 1.88535826 -1.14812130 108.023071 -65.782505
    Unten rechts KachelX + 1 52434 KachelY + 1 48823 1.88545414 -1.14812130 108.028565 -65.782505
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14808197--1.14812130) × R
    3.93299999998931e-05 × 6371000     		dl = 250.571429999319m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14808197--1.14812130) × R
    3.93299999998931e-05 × 6371000     		dr = 250.571429999319m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.88535826-1.88545414) × cos(-1.14808197) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.410237397051516 × 6371000     		do = 250.594121140102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.88535826-1.88545414) × cos(-1.14812130) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.410201528609189 × 6371000     		du = 250.572210849021m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14808197)-sin(-1.14812130))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.410237397051516-0.410201528609189)×R²
    abs(1.88545414-1.88535826)×3.58684423267808e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.58684423267808e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.58684423267808e-05×40589641000000     		ar = 62788.9822450878m²