Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52429 / 48741
↖ ↑ ↗
← S 65.597070°
E108.001099°		 ← 252.35 m → S 65.597070°
E108.006592°		 →
↑
252.36 m
↓
↑
252.36 m
↓
S 65.599339°
E108.001099°		 ← 252.33 m →
63 678 m²		 S 65.599339°
E108.006592°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52429 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48741 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.800010681152344 y=0.743736267089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.800010681152344 × 216)
    floor (0.800010681152344 × 65536)
    floor (52429.5)     		tx = 52429
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743736267089844 × 216)
    floor (0.743736267089844 × 65536)
    floor (48741.5)     		ty = 48741
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52429 / 48741 ti = "16/52429/48741"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52429/48741.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52429 ÷ 216
    52429 ÷ 65536     		x = 0.800003051757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48741 ÷ 216
    48741 ÷ 65536     		y = 0.743728637695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.800003051757812 × 2 - 1) × π
    0.600006103515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.88497477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743728637695312 × 2 - 1) × π
    -0.487457275390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.53139219526231
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.88497477} λ = 1.88497477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53139219526231))-π/2
    2×atan(0.216234417134043)-π/2
    2×0.212955737550664-π/2
    0.425911475101327-1.57079632675     		φ = -1.14488485
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.88497477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.001099°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14488485 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.597070°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52429 KachelY 48741 1.88497477 -1.14488485 108.001099 -65.597070
    Oben rechts KachelX + 1 52430 KachelY 48741 1.88507064 -1.14488485 108.006592 -65.597070
    Unten links KachelX 52429 KachelY + 1 48742 1.88497477 -1.14492446 108.001099 -65.599339
    Unten rechts KachelX + 1 52430 KachelY + 1 48742 1.88507064 -1.14492446 108.006592 -65.599339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14488485--1.14492446) × R
    3.96099999999677e-05 × 6371000     		dl = 252.355309999794m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14488485--1.14492446) × R
    3.96099999999677e-05 × 6371000     		dr = 252.355309999794m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.88497477-1.88507064) × cos(-1.14488485) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.413151001016816 × 6371000     		do = 252.347578584323m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.88497477-1.88507064) × cos(-1.14492446) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.413114929349757 × 6371000     		du = 252.32554645124m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14488485)-sin(-1.14492446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413151001016816-0.413114929349757)×R²
    abs(1.88507064-1.88497477)×3.60716670590455e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.60716670590455e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.60716670590455e-05×40589641000000     		ar = 63678.4714666177m²