Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52425 / 48813
↖ ↑ ↗
← S 65.759962°
E107.979126°		 ← 250.79 m → S 65.759962°
E107.984619°		 →
↑
250.76 m
↓
↑
250.76 m
↓
S 65.762217°
E107.979126°		 ← 250.77 m →
62 886 m²		 S 65.762217°
E107.984619°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52425 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48813 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.799949645996094 y=0.744834899902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.799949645996094 × 216)
    floor (0.799949645996094 × 65536)
    floor (52425.5)     		tx = 52425
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744834899902344 × 216)
    floor (0.744834899902344 × 65536)
    floor (48813.5)     		ty = 48813
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52425 / 48813 ti = "16/52425/48813"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52425/48813.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52425 ÷ 216
    52425 ÷ 65536     		x = 0.799942016601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48813 ÷ 216
    48813 ÷ 65536     		y = 0.744827270507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.799942016601562 × 2 - 1) × π
    0.599884033203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.88459127
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744827270507812 × 2 - 1) × π
    -0.489654541015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.5382951088076
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.88459127} λ = 1.88459127}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5382951088076))-π/2
    2×atan(0.214746909621595)-π/2
    2×0.211534239269259-π/2
    0.423068478538518-1.57079632675     		φ = -1.14772785
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.88459127} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 107.979126°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14772785 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.759962°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52425 KachelY 48813 1.88459127 -1.14772785 107.979126 -65.759962
    Oben rechts KachelX + 1 52426 KachelY 48813 1.88468715 -1.14772785 107.984619 -65.759962
    Unten links KachelX 52425 KachelY + 1 48814 1.88459127 -1.14776721 107.979126 -65.762217
    Unten rechts KachelX + 1 52426 KachelY + 1 48814 1.88468715 -1.14776721 107.984619 -65.762217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14772785--1.14776721) × R
    3.93599999999328e-05 × 6371000     		dl = 250.762559999572m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14772785--1.14776721) × R
    3.93599999999328e-05 × 6371000     		dr = 250.762559999572m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.88459127-1.88468715) × cos(-1.14772785) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.410560321244933 × 6371000     		do = 250.791379861578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.88459127-1.88468715) × cos(-1.14776721) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.410524431162715 × 6371000     		du = 250.769456351738m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14772785)-sin(-1.14776721))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.410560321244933-0.410524431162715)×R²
    abs(1.88468715-1.88459127)×3.5890082217882e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.5890082217882e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.5890082217882e-05×40589641000000     		ar = 62886.3396505406m²