Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5242 / 1226
↖ ↑ ↗
← N 77.370301°
E 50.361328°		 ← 1 068.43 m → N 77.370301°
E 50.405273°		 →
↑
1 068.86 m
↓
↑
1 068.86 m
↓
N 77.360689°
E 50.361328°		 ← 1 069.23 m →
1 142 429 m²		 N 77.360689°
E 50.405273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5242 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.63995361328125 y=0.14971923828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.63995361328125 × 213)
    floor (0.63995361328125 × 8192)
    floor (5242.5)     		tx = 5242
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.14971923828125 × 213)
    floor (0.14971923828125 × 8192)
    floor (1226.5)     		ty = 1226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5242 / 1226 ti = "13/5242/1226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5242/1226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5242 ÷ 213
    5242 ÷ 8192     		x = 0.639892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1226 ÷ 213
    1226 ÷ 8192     		y = 0.149658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639892578125 × 2 - 1) × π
    0.27978515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.87897099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.149658203125 × 2 - 1) × π
    0.70068359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.20126243055298
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87897099} λ = 0.87897099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20126243055298))-π/2
    2×atan(9.0364141469656)-π/2
    2×1.46058141279715-π/2
    2.9211628255943-1.57079632675     		φ = 1.35036650
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87897099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.361328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35036650 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.370301°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5242 KachelY 1226 0.87897099 1.35036650 50.361328 77.370301
    Oben rechts KachelX + 1 5243 KachelY 1226 0.87973798 1.35036650 50.405273 77.370301
    Unten links KachelX 5242 KachelY + 1 1227 0.87897099 1.35019873 50.361328 77.360689
    Unten rechts KachelX + 1 5243 KachelY + 1 1227 0.87973798 1.35019873 50.405273 77.360689
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35036650-1.35019873) × R
    0.000167770000000012 × 6371000     		dl = 1068.86267000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35036650-1.35019873) × R
    0.000167770000000012 × 6371000     		dr = 1068.86267000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87897099-0.87973798) × cos(1.35036650) × R
    0.000766990000000023 × 0.218649069781668 × 6371000     		do = 1068.4272123529m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87897099-0.87973798) × cos(1.35019873) × R
    0.000766990000000023 × 0.218812777266734 × 6371000     		du = 1069.22716788019m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35036650)-sin(1.35019873))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.218649069781668-0.218812777266734)×R²
    abs(0.87973798-0.87897099)×0.000163707485065945×R²
    0.000766990000000023×0.000163707485065945×6371000²
    0.000766990000000023×0.000163707485065945×40589641000000     		ar = 1142429.48687455m²