Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52419 / 48878
↖ ↑ ↗
← S 65.906139°
E107.946167°		 ← 249.34 m → S 65.906139°
E107.951660°		 →
↑
249.36 m
↓
↑
249.36 m
↓
S 65.908381°
E107.946167°		 ← 249.32 m →
62 174 m²		 S 65.908381°
E107.951660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52419 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48878 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.799858093261719 y=0.745826721191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.799858093261719 × 216)
    floor (0.799858093261719 × 65536)
    floor (52419.5)     		tx = 52419
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745826721191406 × 216)
    floor (0.745826721191406 × 65536)
    floor (48878.5)     		ty = 48878
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52419 / 48878 ti = "16/52419/48878"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52419/48878.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52419 ÷ 216
    52419 ÷ 65536     		x = 0.799850463867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48878 ÷ 216
    48878 ÷ 65536     		y = 0.745819091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.799850463867188 × 2 - 1) × π
    0.599700927734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.88401603
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745819091796875 × 2 - 1) × π
    -0.49163818359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.54452690575821
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.88401603} λ = 1.88401603}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54452690575821))-π/2
    2×atan(0.213412811716197)-π/2
    2×0.210258604117135-π/2
    0.42051720823427-1.57079632675     		φ = -1.15027912
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.88401603} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 107.946167°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15027912 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.906139°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52419 KachelY 48878 1.88401603 -1.15027912 107.946167 -65.906139
    Oben rechts KachelX + 1 52420 KachelY 48878 1.88411190 -1.15027912 107.951660 -65.906139
    Unten links KachelX 52419 KachelY + 1 48879 1.88401603 -1.15031826 107.946167 -65.908381
    Unten rechts KachelX + 1 52420 KachelY + 1 48879 1.88411190 -1.15031826 107.951660 -65.908381
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15027912--1.15031826) × R
    3.91399999999376e-05 × 6371000     		dl = 249.360939999602m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15027912--1.15031826) × R
    3.91399999999376e-05 × 6371000     		dr = 249.360939999602m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.88401603-1.88411190) × cos(-1.15027912) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.408232654304245 × 6371000     		do = 249.343512563666m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.88401603-1.88411190) × cos(-1.15031826) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.408196923949705 × 6371000     		du = 249.321688900094m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15027912)-sin(-1.15031826))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408232654304245-0.408196923949705)×R²
    abs(1.88411190-1.88401603)×3.57303545407417e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.57303545407417e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.57303545407417e-05×40589641000000     		ar = 62173.8116985915m²