Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52416 / 21568
↖ ↑ ↗
← N 52.268157°
E107.929688°		 ← 373.78 m → N 52.268157°
E107.935181°		 →
↑
373.79 m
↓
↑
373.79 m
↓
N 52.264796°
E107.929688°		 ← 373.81 m →
139 720 m²		 N 52.264796°
E107.935181°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52416 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21568 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.799812316894531 y=0.329109191894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.799812316894531 × 216)
    floor (0.799812316894531 × 65536)
    floor (52416.5)     		tx = 52416
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329109191894531 × 216)
    floor (0.329109191894531 × 65536)
    floor (21568.5)     		ty = 21568
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52416 / 21568 ti = "16/52416/21568"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52416/21568.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52416 ÷ 216
    52416 ÷ 65536     		x = 0.7998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21568 ÷ 216
    21568 ÷ 65536     		y = 0.3291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7998046875 × 2 - 1) × π
    0.599609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.88372841
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3291015625 × 2 - 1) × π
    0.341796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.07378655148926
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.88372841} λ = 1.88372841}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07378655148926))-π/2
    2×atan(2.9264396612845)-π/2
    2×1.24152388344946-π/2
    2.48304776689892-1.57079632675     		φ = 0.91225144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.88372841} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 107.929688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91225144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.268157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52416 KachelY 21568 1.88372841 0.91225144 107.929688 52.268157
    Oben rechts KachelX + 1 52417 KachelY 21568 1.88382428 0.91225144 107.935181 52.268157
    Unten links KachelX 52416 KachelY + 1 21569 1.88372841 0.91219277 107.929688 52.264796
    Unten rechts KachelX + 1 52417 KachelY + 1 21569 1.88382428 0.91219277 107.935181 52.264796
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91225144-0.91219277) × R
    5.86700000000384e-05 × 6371000     		dl = 373.786570000245m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91225144-0.91219277) × R
    5.86700000000384e-05 × 6371000     		dr = 373.786570000245m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.88372841-1.88382428) × cos(0.91225144) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.611966675158383 × 6371000     		do = 373.781760834295m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.88372841-1.88382428) × cos(0.91219277) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.612013075242945 × 6371000     		du = 373.810101438473m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91225144)-sin(0.91219277))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.611966675158383-0.612013075242945)×R²
    abs(1.88382428-1.88372841)×4.64000845624701e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.64000845624701e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.64000845624701e-05×40589641000000     		ar = 139719.899019434m²