Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52412 / 48734
↖ ↑ ↗
← S 65.581178°
E107.907715°		 ← 252.53 m → S 65.581178°
E107.913208°		 →
↑
252.55 m
↓
↑
252.55 m
↓
S 65.583450°
E107.907715°		 ← 252.51 m →
63 772 m²		 S 65.583450°
E107.913208°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52412 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48734 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.799751281738281 y=0.743629455566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.799751281738281 × 216)
    floor (0.799751281738281 × 65536)
    floor (52412.5)     		tx = 52412
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743629455566406 × 216)
    floor (0.743629455566406 × 65536)
    floor (48734.5)     		ty = 48734
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52412 / 48734 ti = "16/52412/48734"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52412/48734.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52412 ÷ 216
    52412 ÷ 65536     		x = 0.79974365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48734 ÷ 216
    48734 ÷ 65536     		y = 0.743621826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.79974365234375 × 2 - 1) × π
    0.5994873046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.88334491
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743621826171875 × 2 - 1) × π
    -0.48724365234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.53072107866763
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.88334491} λ = 1.88334491}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53072107866763))-π/2
    2×atan(0.216379584346337)-π/2
    2×0.213094416167961-π/2
    0.426188832335922-1.57079632675     		φ = -1.14460749
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.88334491} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 107.907715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14460749 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.581178°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52412 KachelY 48734 1.88334491 -1.14460749 107.907715 -65.581178
    Oben rechts KachelX + 1 52413 KachelY 48734 1.88344079 -1.14460749 107.913208 -65.581178
    Unten links KachelX 52412 KachelY + 1 48735 1.88334491 -1.14464713 107.907715 -65.583450
    Unten rechts KachelX + 1 52413 KachelY + 1 48735 1.88344079 -1.14464713 107.913208 -65.583450
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14460749--1.14464713) × R
    3.96400000000074e-05 × 6371000     		dl = 252.546440000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14460749--1.14464713) × R
    3.96400000000074e-05 × 6371000     		dr = 252.546440000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.88334491-1.88344079) × cos(-1.14460749) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.413403566482378 × 6371000     		do = 252.528180423458m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.88334491-1.88344079) × cos(-1.14464713) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.413367472038551 × 6371000     		du = 252.506132079027m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14460749)-sin(-1.14464713))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413403566482378-0.413367472038551)×R²
    abs(1.88344079-1.88334491)×3.60944438266841e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.60944438266841e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.60944438266841e-05×40589641000000     		ar = 63772.3088582194m²