Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52403 / 48869
↖ ↑ ↗
← S 65.885948°
E107.858276°		 ← 249.54 m → S 65.885948°
E107.863769°		 →
↑
249.55 m
↓
↑
249.55 m
↓
S 65.888193°
E107.858276°		 ← 249.52 m →
62 270 m²		 S 65.888193°
E107.863769°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52403 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48869 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.799613952636719 y=0.745689392089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.799613952636719 × 216)
    floor (0.799613952636719 × 65536)
    floor (52403.5)     		tx = 52403
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745689392089844 × 216)
    floor (0.745689392089844 × 65536)
    floor (48869.5)     		ty = 48869
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52403 / 48869 ti = "16/52403/48869"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52403/48869.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52403 ÷ 216
    52403 ÷ 65536     		x = 0.799606323242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48869 ÷ 216
    48869 ÷ 65536     		y = 0.745681762695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.799606323242188 × 2 - 1) × π
    0.599212646484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.88248205
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745681762695312 × 2 - 1) × π
    -0.491363525390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.54366404156505
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.88248205} λ = 1.88248205}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54366404156505))-π/2
    2×atan(0.213597037459257)-π/2
    2×0.210434798168004-π/2
    0.420869596336007-1.57079632675     		φ = -1.14992673
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.88248205} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 107.858276°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14992673 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.885948°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52403 KachelY 48869 1.88248205 -1.14992673 107.858276 -65.885948
    Oben rechts KachelX + 1 52404 KachelY 48869 1.88257792 -1.14992673 107.863769 -65.885948
    Unten links KachelX 52403 KachelY + 1 48870 1.88248205 -1.14996590 107.858276 -65.888193
    Unten rechts KachelX + 1 52404 KachelY + 1 48870 1.88257792 -1.14996590 107.863769 -65.888193
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14992673--1.14996590) × R
    3.91699999999773e-05 × 6371000     		dl = 249.552069999855m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14992673--1.14996590) × R
    3.91699999999773e-05 × 6371000     		dr = 249.552069999855m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.88248205-1.88257792) × cos(-1.14992673) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.408554318001519 × 6371000     		do = 249.539980816013m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.88248205-1.88257792) × cos(-1.14996590) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.408518565897018 × 6371000     		du = 249.518143867832m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14992673)-sin(-1.14996590))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408554318001519-0.408518565897018)×R²
    abs(1.88257792-1.88248205)×3.57521045018516e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.57521045018516e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.57521045018516e-05×40589641000000     		ar = 62270.4940403762m²