Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5240 / 2759
↖ ↑ ↗
← N 81.610138°
W122.431641°		 ← 178.25 m → N 81.610138°
W122.420654°		 →
↑
178.26 m
↓
↑
178.26 m
↓
N 81.608535°
W122.431641°		 ← 178.28 m →
31 777 m²		 N 81.608535°
W122.420654°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2759 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.159927368164062 y=0.0842132568359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.159927368164062 × 215)
    floor (0.159927368164062 × 32768)
    floor (5240.5)     		tx = 5240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0842132568359375 × 215)
    floor (0.0842132568359375 × 32768)
    floor (2759.5)     		ty = 2759
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5240 / 2759 ti = "15/5240/2759"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5240/2759.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5240 ÷ 215
    5240 ÷ 32768     		x = 0.159912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2759 ÷ 215
    2759 ÷ 32768     		y = 0.084197998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.159912109375 × 2 - 1) × π
    -0.68017578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.13683524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.084197998046875 × 2 - 1) × π
    0.83160400390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.61256102929306
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.13683524} λ = -2.13683524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.61256102929306))-π/2
    2×atan(13.6339230547267)-π/2
    2×1.49758097068219-π/2
    2.99516194136438-1.57079632675     		φ = 1.42436561
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.13683524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.431641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42436561 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.610138°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5240 KachelY 2759 -2.13683524 1.42436561 -122.431641 81.610138
    Oben rechts KachelX + 1 5241 KachelY 2759 -2.13664349 1.42436561 -122.420654 81.610138
    Unten links KachelX 5240 KachelY + 1 2760 -2.13683524 1.42433763 -122.431641 81.608535
    Unten rechts KachelX + 1 5241 KachelY + 1 2760 -2.13664349 1.42433763 -122.420654 81.608535
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42436561-1.42433763) × R
    2.79800000000385e-05 × 6371000     		dl = 178.260580000245m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42436561-1.42433763) × R
    2.79800000000385e-05 × 6371000     		dr = 178.260580000245m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.13683524--2.13664349) × cos(1.42436561) × R
    0.000191749999999935 × 0.145907984061325 × 6371000     		do = 178.246920217628m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.13683524--2.13664349) × cos(1.42433763) × R
    0.000191749999999935 × 0.145935664566877 × 6371000     		du = 178.28073580967m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42436561)-sin(1.42433763))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145907984061325-0.145935664566877)×R²
    abs(-2.13664349--2.13683524)×2.76805055518248e-05×R²
    0.000191749999999935×2.76805055518248e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.76805055518248e-05×40589641000000     		ar = 31777.4133764587m²