Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5239 / 1320
↖ ↑ ↗
← N 76.434604°
E 50.229492°		 ← 1 146.15 m → N 76.434604°
E 50.273437°		 →
↑
1 146.59 m
↓
↑
1 146.59 m
↓
N 76.424292°
E 50.229492°		 ← 1 147.01 m →
1 314 655 m²		 N 76.424292°
E 50.273437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5239 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1320 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.63958740234375 y=0.16119384765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.63958740234375 × 213)
    floor (0.63958740234375 × 8192)
    floor (5239.5)     		tx = 5239
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.16119384765625 × 213)
    floor (0.16119384765625 × 8192)
    floor (1320.5)     		ty = 1320
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5239 / 1320 ti = "13/5239/1320"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5239/1320.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5239 ÷ 213
    5239 ÷ 8192     		x = 0.6395263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1320 ÷ 213
    1320 ÷ 8192     		y = 0.1611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6395263671875 × 2 - 1) × π
    0.279052734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.87667002
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1611328125 × 2 - 1) × π
    0.677734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.12916533352441
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87667002} λ = 0.87667002}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12916533352441))-π/2
    2×atan(8.40784613458549)-π/2
    2×1.45241591088479-π/2
    2.90483182176958-1.57079632675     		φ = 1.33403550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87667002} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.229492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33403550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.434604°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5239 KachelY 1320 0.87667002 1.33403550 50.229492 76.434604
    Oben rechts KachelX + 1 5240 KachelY 1320 0.87743701 1.33403550 50.273437 76.434604
    Unten links KachelX 5239 KachelY + 1 1321 0.87667002 1.33385553 50.229492 76.424292
    Unten rechts KachelX + 1 5240 KachelY + 1 1321 0.87743701 1.33385553 50.273437 76.424292
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33403550-1.33385553) × R
    0.000179970000000029 × 6371000     		dl = 1146.58887000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33403550-1.33385553) × R
    0.000179970000000029 × 6371000     		dr = 1146.58887000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87667002-0.87743701) × cos(1.33403550) × R
    0.000766989999999912 × 0.23455505297213 × 6371000     		do = 1146.15169248378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87667002-0.87743701) × cos(1.33385553) × R
    0.000766989999999912 × 0.234729998520367 × 6371000     		du = 1147.00656273135m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33403550)-sin(1.33385553))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.23455505297213-0.234729998520367)×R²
    abs(0.87743701-0.87667002)×0.000174945548236743×R²
    0.000766989999999912×0.000174945548236743×6371000²
    0.000766989999999912×0.000174945548236743×40589641000000     		ar = 1314654.86983777m²