Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52386 / 48871
↖ ↑ ↗
← S 65.890436°
E107.764892°		 ← 249.52 m → S 65.890436°
E107.770386°		 →
↑
249.49 m
↓
↑
249.49 m
↓
S 65.892680°
E107.764892°		 ← 249.50 m →
62 250 m²		 S 65.892680°
E107.770386°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52386 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48871 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.799354553222656 y=0.745719909667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.799354553222656 × 216)
    floor (0.799354553222656 × 65536)
    floor (52386.5)     		tx = 52386
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745719909667969 × 216)
    floor (0.745719909667969 × 65536)
    floor (48871.5)     		ty = 48871
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52386 / 48871 ti = "16/52386/48871"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52386/48871.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52386 ÷ 216
    52386 ÷ 65536     		x = 0.799346923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48871 ÷ 216
    48871 ÷ 65536     		y = 0.745712280273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.799346923828125 × 2 - 1) × π
    0.59869384765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.88085219
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745712280273438 × 2 - 1) × π
    -0.491424560546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.54385578916353
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.88085219} λ = 1.88085219}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54385578916353))-π/2
    2×atan(0.213556084666707)-π/2
    2×0.210395631940851-π/2
    0.420791263881702-1.57079632675     		φ = -1.15000506
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.88085219} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 107.764892°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15000506 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.890436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52386 KachelY 48871 1.88085219 -1.15000506 107.764892 -65.890436
    Oben rechts KachelX + 1 52387 KachelY 48871 1.88094807 -1.15000506 107.770386 -65.890436
    Unten links KachelX 52386 KachelY + 1 48872 1.88085219 -1.15004422 107.764892 -65.892680
    Unten rechts KachelX + 1 52387 KachelY + 1 48872 1.88094807 -1.15004422 107.770386 -65.892680
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15000506--1.15004422) × R
    3.91600000000381e-05 × 6371000     		dl = 249.488360000242m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15000506--1.15004422) × R
    3.91600000000381e-05 × 6371000     		dr = 249.488360000242m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.88085219-1.88094807) × cos(-1.15000506) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.40848282229339 × 6371000     		do = 249.522336552909m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.88085219-1.88094807) × cos(-1.15004422) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.408447078063352 × 6371000     		du = 249.500502137088m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15000506)-sin(-1.15004422))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.40848282229339-0.408447078063352)×R²
    abs(1.88094807-1.88085219)×3.57442300380484e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.57442300380484e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.57442300380484e-05×40589641000000     		ar = 62250.1948219877m²