Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 5238 / 7558
↖ ↑ ↗
← N 69.139097°
W122.453613°		 ← 435 m → N 69.139097°
W122.442627°		 →
↑
435.08 m
↓
↑
435.08 m
↓
N 69.135185°
W122.453613°		 ← 435.08 m →
189 276 m²		 N 69.135185°
W122.442627°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5238 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7558 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.159866333007812 y=0.230667114257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.159866333007812 × 215)
    floor (0.159866333007812 × 32768)
    floor (5238.5)     		tx = 5238
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230667114257812 × 215)
    floor (0.230667114257812 × 32768)
    floor (7558.5)     		ty = 7558
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5238 / 7558 ti = "15/5238/7558"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5238/7558.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5238 ÷ 215
    5238 ÷ 32768     		x = 0.15985107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7558 ÷ 215
    7558 ÷ 32768     		y = 0.23065185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15985107421875 × 2 - 1) × π
    -0.6802978515625 × 3.1415926535     		Λ = -2.13721873
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23065185546875 × 2 - 1) × π
    0.5386962890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.69236430418646
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.13721873} λ = -2.13721873}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69236430418646))-π/2
    2×atan(5.43230916526595)-π/2
    2×1.38875060655204-π/2
    2.77750121310408-1.57079632675     		φ = 1.20670489
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.13721873} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.453613°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20670489 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.139097°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5238 KachelY 7558 -2.13721873 1.20670489 -122.453613 69.139097
    Oben rechts KachelX + 1 5239 KachelY 7558 -2.13702699 1.20670489 -122.442627 69.139097
    Unten links KachelX 5238 KachelY + 1 7559 -2.13721873 1.20663660 -122.453613 69.135185
    Unten rechts KachelX + 1 5239 KachelY + 1 7559 -2.13702699 1.20663660 -122.442627 69.135185
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20670489-1.20663660) × R
    6.82899999999709e-05 × 6371000     		dl = 435.075589999814m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20670489-1.20663660) × R
    6.82899999999709e-05 × 6371000     		dr = 435.075589999814m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.13721873--2.13702699) × cos(1.20670489) × R
    0.000191739999999996 × 0.356100436786763 × 6371000     		do = 435.003583362016m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.13721873--2.13702699) × cos(1.20663660) × R
    0.000191739999999996 × 0.356164249388887 × 6371000     		du = 435.081535275915m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20670489)-sin(1.20663660))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356100436786763-0.356164249388887)×R²
    abs(-2.13702699--2.13721873)×6.38126021241803e-05×R²
    0.000191739999999996×6.38126021241803e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.38126021241803e-05×40589641000000     		ar = 189276.398244417m²