Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5238 / 2763
↖ ↑ ↗
← N 81.603724°
W122.453613°		 ← 178.37 m → N 81.603724°
W122.442627°		 →
↑
178.39 m
↓
↑
178.39 m
↓
N 81.602119°
W122.453613°		 ← 178.41 m →
31 823 m²		 N 81.602119°
W122.442627°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5238 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2763 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.159866333007812 y=0.0843353271484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.159866333007812 × 215)
    floor (0.159866333007812 × 32768)
    floor (5238.5)     		tx = 5238
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0843353271484375 × 215)
    floor (0.0843353271484375 × 32768)
    floor (2763.5)     		ty = 2763
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5238 / 2763 ti = "15/5238/2763"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5238/2763.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5238 ÷ 215
    5238 ÷ 32768     		x = 0.15985107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2763 ÷ 215
    2763 ÷ 32768     		y = 0.084320068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15985107421875 × 2 - 1) × π
    -0.6802978515625 × 3.1415926535     		Λ = -2.13721873
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.084320068359375 × 2 - 1) × π
    0.83135986328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.61179403889914
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.13721873} λ = -2.13721873}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.61179403889914))-π/2
    2×atan(13.6234699759302)-π/2
    2×1.49752499443875-π/2
    2.99504998887751-1.57079632675     		φ = 1.42425366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.13721873} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.453613°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42425366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.603724°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5238 KachelY 2763 -2.13721873 1.42425366 -122.453613 81.603724
    Oben rechts KachelX + 1 5239 KachelY 2763 -2.13702699 1.42425366 -122.442627 81.603724
    Unten links KachelX 5238 KachelY + 1 2764 -2.13721873 1.42422566 -122.453613 81.602119
    Unten rechts KachelX + 1 5239 KachelY + 1 2764 -2.13702699 1.42422566 -122.442627 81.602119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42425366-1.42422566) × R
    2.7999999999917e-05 × 6371000     		dl = 178.387999999471m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42425366-1.42422566) × R
    2.7999999999917e-05 × 6371000     		dr = 178.387999999471m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.13721873--2.13702699) × cos(1.42425366) × R
    0.000191739999999996 × 0.146018735076399 × 6371000     		do = 178.372915151065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.13721873--2.13702699) × cos(1.42422566) × R
    0.000191739999999996 × 0.146046434910252 × 6371000     		du = 178.406752590562m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42425366)-sin(1.42422566))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146018735076399-0.146046434910252)×R²
    abs(-2.13702699--2.13721873)×2.76998338531453e-05×R²
    0.000191739999999996×2.76998338531453e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.76998338531453e-05×40589641000000     		ar = 31822.6056870059m²