Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 52373 / 48816
↖ ↑ ↗
← S 65.766727°
E107.693481°		 ← 250.73 m → S 65.766727°
E107.698975°		 →
↑
250.70 m
↓
↑
250.70 m
↓
S 65.768981°
E107.693481°		 ← 250.70 m →
62 854 m²		 S 65.768981°
E107.698975°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52373 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48816 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.799156188964844 y=0.744880676269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.799156188964844 × 216)
    floor (0.799156188964844 × 65536)
    floor (52373.5)     		tx = 52373
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744880676269531 × 216)
    floor (0.744880676269531 × 65536)
    floor (48816.5)     		ty = 48816
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52373 / 48816 ti = "16/52373/48816"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52373/48816.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52373 ÷ 216
    52373 ÷ 65536     		x = 0.799148559570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48816 ÷ 216
    48816 ÷ 65536     		y = 0.744873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.799148559570312 × 2 - 1) × π
    0.598297119140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.87960583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744873046875 × 2 - 1) × π
    -0.48974609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.53858273020532
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.87960583} λ = 1.87960583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53858273020532))-π/2
    2×atan(0.214685152697026)-π/2
    2×0.211475204044156-π/2
    0.422950408088311-1.57079632675     		φ = -1.14784592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.87960583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 107.693481°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14784592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.766727°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52373 KachelY 48816 1.87960583 -1.14784592 107.693481 -65.766727
    Oben rechts KachelX + 1 52374 KachelY 48816 1.87970171 -1.14784592 107.698975 -65.766727
    Unten links KachelX 52373 KachelY + 1 48817 1.87960583 -1.14788527 107.693481 -65.768981
    Unten rechts KachelX + 1 52374 KachelY + 1 48817 1.87970171 -1.14788527 107.698975 -65.768981
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14784592--1.14788527) × R
    3.93499999999936e-05 × 6371000     		dl = 250.698849999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14784592--1.14788527) × R
    3.93499999999936e-05 × 6371000     		dr = 250.698849999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.87960583-1.87970171) × cos(-1.14784592) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.410452658209189 × 6371000     		do = 250.725613736853m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.87960583-1.87970171) × cos(-1.14788527) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.410416775338315 × 6371000     		du = 250.703694632073m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14784592)-sin(-1.14788527))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.410452658209189-0.410416775338315)×R²
    abs(1.87970171-1.87960583)×3.58828708741932e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.58828708741932e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.58828708741932e-05×40589641000000     		ar = 62853.8754904036m²