Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52370 / 48817
↖ ↑ ↗
← S 65.768981°
E107.677002°		 ← 250.70 m → S 65.768981°
E107.682495°		 →
↑
250.70 m
↓
↑
250.70 m
↓
S 65.771236°
E107.677002°		 ← 250.68 m →
62 848 m²		 S 65.771236°
E107.682495°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52370 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48817 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.799110412597656 y=0.744895935058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.799110412597656 × 216)
    floor (0.799110412597656 × 65536)
    floor (52370.5)     		tx = 52370
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744895935058594 × 216)
    floor (0.744895935058594 × 65536)
    floor (48817.5)     		ty = 48817
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52370 / 48817 ti = "16/52370/48817"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52370/48817.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52370 ÷ 216
    52370 ÷ 65536     		x = 0.799102783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48817 ÷ 216
    48817 ÷ 65536     		y = 0.744888305664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.799102783203125 × 2 - 1) × π
    0.59820556640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.87931821
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744888305664062 × 2 - 1) × π
    -0.489776611328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.53867860400456
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.87931821} λ = 1.87931821}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53867860400456))-π/2
    2×atan(0.214664571002435)-π/2
    2×0.211455529076289-π/2
    0.422911058152578-1.57079632675     		φ = -1.14788527
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.87931821} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 107.677002°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14788527 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.768981°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52370 KachelY 48817 1.87931821 -1.14788527 107.677002 -65.768981
    Oben rechts KachelX + 1 52371 KachelY 48817 1.87941409 -1.14788527 107.682495 -65.768981
    Unten links KachelX 52370 KachelY + 1 48818 1.87931821 -1.14792462 107.677002 -65.771236
    Unten rechts KachelX + 1 52371 KachelY + 1 48818 1.87941409 -1.14792462 107.682495 -65.771236
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14788527--1.14792462) × R
    3.93499999999936e-05 × 6371000     		dl = 250.698849999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14788527--1.14792462) × R
    3.93499999999936e-05 × 6371000     		dr = 250.698849999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.87931821-1.87941409) × cos(-1.14788527) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.410416775338315 × 6371000     		do = 250.703694632073m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.87931821-1.87941409) × cos(-1.14792462) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.410380891831942 × 6371000     		du = 250.681775139097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14788527)-sin(-1.14792462))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.410416775338315-0.410380891831942)×R²
    abs(1.87941409-1.87931821)×3.58835063727359e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.58835063727359e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.58835063727359e-05×40589641000000     		ar = 62848.3803472195m²