Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5237 / 2765
↖ ↑ ↗
← N 81.600515°
W122.464600°		 ← 178.45 m → N 81.600515°
W122.453613°		 →
↑
178.45 m
↓
↑
178.45 m
↓
N 81.598910°
W122.464600°		 ← 178.48 m →
31 848 m²		 N 81.598910°
W122.453613°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5237 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2765 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.159835815429688 y=0.0843963623046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.159835815429688 × 215)
    floor (0.159835815429688 × 32768)
    floor (5237.5)     		tx = 5237
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0843963623046875 × 215)
    floor (0.0843963623046875 × 32768)
    floor (2765.5)     		ty = 2765
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5237 / 2765 ti = "15/5237/2765"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5237/2765.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5237 ÷ 215
    5237 ÷ 32768     		x = 0.159820556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2765 ÷ 215
    2765 ÷ 32768     		y = 0.084381103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.159820556640625 × 2 - 1) × π
    -0.68035888671875 × 3.1415926535     		Λ = -2.13741048
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.084381103515625 × 2 - 1) × π
    0.83123779296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.61141054370218
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.13741048} λ = -2.13741048}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.61141054370218))-π/2
    2×atan(13.6182464422925)-π/2
    2×1.49749699038556-π/2
    2.99499398077112-1.57079632675     		φ = 1.42419765
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.13741048} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.464600°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42419765 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.600515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5237 KachelY 2765 -2.13741048 1.42419765 -122.464600 81.600515
    Oben rechts KachelX + 1 5238 KachelY 2765 -2.13721873 1.42419765 -122.453613 81.600515
    Unten links KachelX 5237 KachelY + 1 2766 -2.13741048 1.42416964 -122.464600 81.598910
    Unten rechts KachelX + 1 5238 KachelY + 1 2766 -2.13721873 1.42416964 -122.453613 81.598910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42419765-1.42416964) × R
    2.80100000000783e-05 × 6371000     		dl = 178.451710000499m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42419765-1.42416964) × R
    2.80100000000783e-05 × 6371000     		dr = 178.451710000499m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.13741048--2.13721873) × cos(1.42419765) × R
    0.000191749999999935 × 0.146074144522342 × 6371000     		do = 178.449908358604m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.13741048--2.13721873) × cos(1.42416964) × R
    0.000191749999999935 × 0.146101854019827 × 6371000     		du = 178.48375936833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42419765)-sin(1.42416964))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146074144522342-0.146101854019827)×R²
    abs(-2.13721873--2.13741048)×2.77094974854009e-05×R²
    0.000191749999999935×2.77094974854009e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.77094974854009e-05×40589641000000     		ar = 31847.7116832153m²