Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 52365 / 48814
↖ ↑ ↗
← S 65.762217°
E107.649536°		 ← 250.77 m → S 65.762217°
E107.655029°		 →
↑
250.76 m
↓
↑
250.76 m
↓
S 65.764472°
E107.649536°		 ← 250.75 m →
62 881 m²		 S 65.764472°
E107.655029°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52365 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48814 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.799034118652344 y=0.744850158691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.799034118652344 × 216)
    floor (0.799034118652344 × 65536)
    floor (52365.5)     		tx = 52365
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744850158691406 × 216)
    floor (0.744850158691406 × 65536)
    floor (48814.5)     		ty = 48814
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52365 / 48814 ti = "16/52365/48814"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52365/48814.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52365 ÷ 216
    52365 ÷ 65536     		x = 0.799026489257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48814 ÷ 216
    48814 ÷ 65536     		y = 0.744842529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.799026489257812 × 2 - 1) × π
    0.598052978515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.87883884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744842529296875 × 2 - 1) × π
    -0.48968505859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.53839098260684
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.87883884} λ = 1.87883884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53839098260684))-π/2
    2×atan(0.214726322006417)-π/2
    2×0.211514559140521-π/2
    0.423029118281042-1.57079632675     		φ = -1.14776721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.87883884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 107.649536°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14776721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.762217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52365 KachelY 48814 1.87883884 -1.14776721 107.649536 -65.762217
    Oben rechts KachelX + 1 52366 KachelY 48814 1.87893472 -1.14776721 107.655029 -65.762217
    Unten links KachelX 52365 KachelY + 1 48815 1.87883884 -1.14780657 107.649536 -65.764472
    Unten rechts KachelX + 1 52366 KachelY + 1 48815 1.87893472 -1.14780657 107.655029 -65.764472
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14776721--1.14780657) × R
    3.93599999999328e-05 × 6371000     		dl = 250.762559999572m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14776721--1.14780657) × R
    3.93599999999328e-05 × 6371000     		dr = 250.762559999572m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.87883884-1.87893472) × cos(-1.14776721) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.410524431162715 × 6371000     		do = 250.769456351738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.87883884-1.87893472) × cos(-1.14780657) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.410488540444509 × 6371000     		du = 250.747532453404m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14776721)-sin(-1.14780657))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.410524431162715-0.410488540444509)×R²
    abs(1.87893472-1.87883884)×3.58907182063106e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.58907182063106e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.58907182063106e-05×40589641000000     		ar = 62880.8420061071m²