Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5236 / 1308
↖ ↑ ↗
← N 76.557743°
E 50.097656°		 ← 1 135.94 m → N 76.557743°
E 50.141602°		 →
↑
1 136.33 m
↓
↑
1 136.33 m
↓
N 76.547524°
E 50.097656°		 ← 1 136.79 m →
1 291 286 m²		 N 76.547524°
E 50.141602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5236 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1308 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.63922119140625 y=0.15972900390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.63922119140625 × 213)
    floor (0.63922119140625 × 8192)
    floor (5236.5)     		tx = 5236
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.15972900390625 × 213)
    floor (0.15972900390625 × 8192)
    floor (1308.5)     		ty = 1308
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5236 / 1308 ti = "13/5236/1308"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5236/1308.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5236 ÷ 213
    5236 ÷ 8192     		x = 0.63916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1308 ÷ 213
    1308 ÷ 8192     		y = 0.15966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63916015625 × 2 - 1) × π
    0.2783203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.87436905
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15966796875 × 2 - 1) × π
    0.6806640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.13836921825146
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87436905} λ = 0.87436905}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13836921825146))-π/2
    2×atan(8.4855881968979)-π/2
    2×1.45349050448054-π/2
    2.90698100896108-1.57079632675     		φ = 1.33618468
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87436905} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.097656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33618468 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.557743°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5236 KachelY 1308 0.87436905 1.33618468 50.097656 76.557743
    Oben rechts KachelX + 1 5237 KachelY 1308 0.87513604 1.33618468 50.141602 76.557743
    Unten links KachelX 5236 KachelY + 1 1309 0.87436905 1.33600632 50.097656 76.547524
    Unten rechts KachelX + 1 5237 KachelY + 1 1309 0.87513604 1.33600632 50.141602 76.547524
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33618468-1.33600632) × R
    0.000178359999999822 × 6371000     		dl = 1136.33155999887m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33618468-1.33600632) × R
    0.000178359999999822 × 6371000     		dr = 1136.33155999887m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87436905-0.87513604) × cos(1.33618468) × R
    0.000766990000000023 × 0.232465288901964 × 6371000     		do = 1135.94007437739m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87436905-0.87513604) × cos(1.33600632) × R
    0.000766990000000023 × 0.232638758976517 × 6371000     		du = 1136.78773473271m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33618468)-sin(1.33600632))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.232465288901964-0.232638758976517)×R²
    abs(0.87513604-0.87436905)×0.000173470074552928×R²
    0.000766990000000023×0.000173470074552928×6371000²
    0.000766990000000023×0.000173470074552928×40589641000000     		ar = 1291286.1718121m²