Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52356 / 49276
↖ ↑ ↗
← S 66.783249°
E107.600098°		 ← 240.78 m → S 66.783249°
E107.605591°		 →
↑
240.82 m
↓
↑
240.82 m
↓
S 66.785415°
E107.600098°		 ← 240.76 m →
57 983 m²		 S 66.785415°
E107.605591°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52356 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49276 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.798896789550781 y=0.751899719238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.798896789550781 × 216)
    floor (0.798896789550781 × 65536)
    floor (52356.5)     		tx = 52356
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751899719238281 × 216)
    floor (0.751899719238281 × 65536)
    floor (49276.5)     		ty = 49276
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52356 / 49276 ti = "16/52356/49276"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52356/49276.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52356 ÷ 216
    52356 ÷ 65536     		x = 0.79888916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49276 ÷ 216
    49276 ÷ 65536     		y = 0.75189208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.79888916015625 × 2 - 1) × π
    0.5977783203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.87797598
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75189208984375 × 2 - 1) × π
    -0.5037841796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.58268467785577
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.87797598} λ = 1.87797598}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58268467785577))-π/2
    2×atan(0.205422863038339)-π/2
    2×0.202604372022357-π/2
    0.405208744044713-1.57079632675     		φ = -1.16558758
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.87797598} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 107.600098°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16558758 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.783249°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52356 KachelY 49276 1.87797598 -1.16558758 107.600098 -66.783249
    Oben rechts KachelX + 1 52357 KachelY 49276 1.87807185 -1.16558758 107.605591 -66.783249
    Unten links KachelX 52356 KachelY + 1 49277 1.87797598 -1.16562538 107.600098 -66.785415
    Unten rechts KachelX + 1 52357 KachelY + 1 49277 1.87807185 -1.16562538 107.605591 -66.785415
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16558758--1.16562538) × R
    3.78000000000878e-05 × 6371000     		dl = 240.823800000559m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16558758--1.16562538) × R
    3.78000000000878e-05 × 6371000     		dr = 240.823800000559m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.87797598-1.87807185) × cos(-1.16558758) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.394210611464249 × 6371000     		do = 240.77902028658m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.87797598-1.87807185) × cos(-1.16562538) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.394175872221825 × 6371000     		du = 240.757801982168m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16558758)-sin(-1.16562538))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394210611464249-0.394175872221825)×R²
    abs(1.87807185-1.87797598)×3.47392424239201e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.47392424239201e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.47392424239201e-05×40589641000000     		ar = 57982.7636962694m²