Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5235 / 2763
↖ ↑ ↗
← N 81.603724°
W122.486573°		 ← 178.38 m → N 81.603724°
W122.475586°		 →
↑
178.39 m
↓
↑
178.39 m
↓
N 81.602119°
W122.486573°		 ← 178.42 m →
31 824 m²		 N 81.602119°
W122.475586°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5235 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2763 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.159774780273438 y=0.0843353271484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.159774780273438 × 215)
    floor (0.159774780273438 × 32768)
    floor (5235.5)     		tx = 5235
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0843353271484375 × 215)
    floor (0.0843353271484375 × 32768)
    floor (2763.5)     		ty = 2763
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5235 / 2763 ti = "15/5235/2763"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5235/2763.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5235 ÷ 215
    5235 ÷ 32768     		x = 0.159759521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2763 ÷ 215
    2763 ÷ 32768     		y = 0.084320068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.159759521484375 × 2 - 1) × π
    -0.68048095703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.13779398
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.084320068359375 × 2 - 1) × π
    0.83135986328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.61179403889914
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.13779398} λ = -2.13779398}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.61179403889914))-π/2
    2×atan(13.6234699759302)-π/2
    2×1.49752499443875-π/2
    2.99504998887751-1.57079632675     		φ = 1.42425366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.13779398} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.486573°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42425366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.603724°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5235 KachelY 2763 -2.13779398 1.42425366 -122.486573 81.603724
    Oben rechts KachelX + 1 5236 KachelY 2763 -2.13760223 1.42425366 -122.475586 81.603724
    Unten links KachelX 5235 KachelY + 1 2764 -2.13779398 1.42422566 -122.486573 81.602119
    Unten rechts KachelX + 1 5236 KachelY + 1 2764 -2.13760223 1.42422566 -122.475586 81.602119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42425366-1.42422566) × R
    2.7999999999917e-05 × 6371000     		dl = 178.387999999471m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42425366-1.42422566) × R
    2.7999999999917e-05 × 6371000     		dr = 178.387999999471m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.13779398--2.13760223) × cos(1.42425366) × R
    0.000191749999999935 × 0.146018735076399 × 6371000     		do = 178.38221800462m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.13779398--2.13760223) × cos(1.42422566) × R
    0.000191749999999935 × 0.146046434910252 × 6371000     		du = 178.416057208874m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42425366)-sin(1.42422566))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146018735076399-0.146046434910252)×R²
    abs(-2.13760223--2.13779398)×2.76998338531453e-05×R²
    0.000191749999999935×2.76998338531453e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.76998338531453e-05×40589641000000     		ar = 31824.2653618517m²