Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5235 / 1307
↖ ↑ ↗
← N 76.567955°
E 50.053711°		 ← 1 135.09 m → N 76.567955°
E 50.097656°		 →
↑
1 135.50 m
↓
↑
1 135.50 m
↓
N 76.557743°
E 50.053711°		 ← 1 135.94 m →
1 289 383 m²		 N 76.557743°
E 50.097656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5235 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1307 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.63909912109375 y=0.15960693359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.63909912109375 × 213)
    floor (0.63909912109375 × 8192)
    floor (5235.5)     		tx = 5235
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.15960693359375 × 213)
    floor (0.15960693359375 × 8192)
    floor (1307.5)     		ty = 1307
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5235 / 1307 ti = "13/5235/1307"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5235/1307.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5235 ÷ 213
    5235 ÷ 8192     		x = 0.6390380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1307 ÷ 213
    1307 ÷ 8192     		y = 0.1595458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6390380859375 × 2 - 1) × π
    0.278076171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.87360206
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1595458984375 × 2 - 1) × π
    0.680908203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.13913620864539
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87360206} λ = 0.87360206}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13913620864539))-π/2
    2×atan(8.49209905809651)-π/2
    2×1.45357962055754-π/2
    2.90715924111509-1.57079632675     		φ = 1.33636291
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87360206} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.053711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33636291 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.567955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5235 KachelY 1307 0.87360206 1.33636291 50.053711 76.567955
    Oben rechts KachelX + 1 5236 KachelY 1307 0.87436905 1.33636291 50.097656 76.567955
    Unten links KachelX 5235 KachelY + 1 1308 0.87360206 1.33618468 50.053711 76.557743
    Unten rechts KachelX + 1 5236 KachelY + 1 1308 0.87436905 1.33618468 50.097656 76.557743
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33636291-1.33618468) × R
    0.000178230000000168 × 6371000     		dl = 1135.50333000107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33636291-1.33618468) × R
    0.000178230000000168 × 6371000     		dr = 1135.50333000107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87360206-0.87436905) × cos(1.33636291) × R
    0.000766990000000023 × 0.232291937876154 × 6371000     		do = 1135.09299575296m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87360206-0.87436905) × cos(1.33618468) × R
    0.000766990000000023 × 0.232465288901964 × 6371000     		du = 1135.94007437739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33636291)-sin(1.33618468))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.232291937876154-0.232465288901964)×R²
    abs(0.87436905-0.87360206)×0.000173351025810092×R²
    0.000766990000000023×0.000173351025810092×6371000²
    0.000766990000000023×0.000173351025810092×40589641000000     		ar = 1289382.81024929m²