Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 5233 / 1303
↖ ↑ ↗
← N 76.608726°
E 49.965820°		 ← 1 131.71 m → N 76.608726°
E 50.009766°		 →
↑
1 132.13 m
↓
↑
1 132.13 m
↓
N 76.598545°
E 49.965820°		 ← 1 132.56 m →
1 281 718 m²		 N 76.598545°
E 50.009766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5233 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1303 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.63885498046875 y=0.15911865234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.63885498046875 × 213)
    floor (0.63885498046875 × 8192)
    floor (5233.5)     		tx = 5233
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.15911865234375 × 213)
    floor (0.15911865234375 × 8192)
    floor (1303.5)     		ty = 1303
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5233 / 1303 ti = "13/5233/1303"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5233/1303.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5233 ÷ 213
    5233 ÷ 8192     		x = 0.6387939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1303 ÷ 213
    1303 ÷ 8192     		y = 0.1590576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6387939453125 × 2 - 1) × π
    0.277587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.87206808
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1590576171875 × 2 - 1) × π
    0.681884765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.14220417022107
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87206808} λ = 0.87206808}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14220417022107))-π/2
    2×atan(8.51819249807246)-π/2
    2×1.45393542076567-π/2
    2.90787084153134-1.57079632675     		φ = 1.33707451
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87206808} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.965820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33707451 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.608726°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5233 KachelY 1303 0.87206808 1.33707451 49.965820 76.608726
    Oben rechts KachelX + 1 5234 KachelY 1303 0.87283507 1.33707451 50.009766 76.608726
    Unten links KachelX 5233 KachelY + 1 1304 0.87206808 1.33689681 49.965820 76.598545
    Unten rechts KachelX + 1 5234 KachelY + 1 1304 0.87283507 1.33689681 50.009766 76.598545
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33707451-1.33689681) × R
    0.000177700000000058 × 6371000     		dl = 1132.12670000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33707451-1.33689681) × R
    0.000177700000000058 × 6371000     		dr = 1132.12670000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87206808-0.87283507) × cos(1.33707451) × R
    0.000766990000000023 × 0.23159974414922 × 6371000     		do = 1131.71059575091m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87206808-0.87283507) × cos(1.33689681) × R
    0.000766990000000023 × 0.231772609035297 × 6371000     		du = 1132.55529885681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33707451)-sin(1.33689681))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.23159974414922-0.231772609035297)×R²
    abs(0.87283507-0.87206808)×0.000172864886077512×R²
    0.000766990000000023×0.000172864886077512×6371000²
    0.000766990000000023×0.000172864886077512×40589641000000     		ar = 1281717.9409658m²