Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5233 / 1295
↖ ↑ ↗
← N 76.689906°
E 49.965820°		 ← 1 124.97 m → N 76.689906°
E 50.009766°		 →
↑
1 125.37 m
↓
↑
1 125.37 m
↓
N 76.679785°
E 49.965820°		 ← 1 125.81 m →
1 266 489 m²		 N 76.679785°
E 50.009766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5233 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1295 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.63885498046875 y=0.15814208984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.63885498046875 × 213)
    floor (0.63885498046875 × 8192)
    floor (5233.5)     		tx = 5233
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.15814208984375 × 213)
    floor (0.15814208984375 × 8192)
    floor (1295.5)     		ty = 1295
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5233 / 1295 ti = "13/5233/1295"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5233/1295.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5233 ÷ 213
    5233 ÷ 8192     		x = 0.6387939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1295 ÷ 213
    1295 ÷ 8192     		y = 0.1580810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6387939453125 × 2 - 1) × π
    0.277587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.87206808
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1580810546875 × 2 - 1) × π
    0.683837890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.14834009337244
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87206808} λ = 0.87206808}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14834009337244))-π/2
    2×atan(8.57062015417389)-π/2
    2×1.45464384320575-π/2
    2.9092876864115-1.57079632675     		φ = 1.33849136
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87206808} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.965820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33849136 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.689906°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5233 KachelY 1295 0.87206808 1.33849136 49.965820 76.689906
    Oben rechts KachelX + 1 5234 KachelY 1295 0.87283507 1.33849136 50.009766 76.689906
    Unten links KachelX 5233 KachelY + 1 1296 0.87206808 1.33831472 49.965820 76.679785
    Unten rechts KachelX + 1 5234 KachelY + 1 1296 0.87283507 1.33831472 50.009766 76.679785
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33849136-1.33831472) × R
    0.000176639999999839 × 6371000     		dl = 1125.37343999898m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33849136-1.33831472) × R
    0.000176639999999839 × 6371000     		dr = 1125.37343999898m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87206808-0.87283507) × cos(1.33849136) × R
    0.000766990000000023 × 0.230221184650307 × 6371000     		do = 1124.97427400961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87206808-0.87283507) × cos(1.33831472) × R
    0.000766990000000023 × 0.230393076212091 × 6371000     		du = 1125.81422097287m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33849136)-sin(1.33831472))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.230221184650307-0.230393076212091)×R²
    abs(0.87283507-0.87206808)×0.000171891561783821×R²
    0.000766990000000023×0.000171891561783821×6371000²
    0.000766990000000023×0.000171891561783821×40589641000000     		ar = 1266488.79894923m²