Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52320 / 49067
↖ ↑ ↗
← S 66.326479°
E107.402344°		 ← 245.27 m → S 66.326479°
E107.407837°		 →
↑
245.28 m
↓
↑
245.28 m
↓
S 66.328685°
E107.402344°		 ← 245.25 m →
60 159 m²		 S 66.328685°
E107.407837°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.798347473144531 y=0.748710632324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.798347473144531 × 216)
    floor (0.798347473144531 × 65536)
    floor (52320.5)     		tx = 52320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748710632324219 × 216)
    floor (0.748710632324219 × 65536)
    floor (49067.5)     		ty = 49067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52320 / 49067 ti = "16/52320/49067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52320/49067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52320 ÷ 216
    52320 ÷ 65536     		x = 0.79833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49067 ÷ 216
    49067 ÷ 65536     		y = 0.748703002929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.79833984375 × 2 - 1) × π
    0.5966796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.87452452
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748703002929688 × 2 - 1) × π
    -0.497406005859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.56264705381459
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.87452452} λ = 1.87452452}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56264705381459))-π/2
    2×atan(0.209580565263329)-π/2
    2×0.206590441417397-π/2
    0.413180882834793-1.57079632675     		φ = -1.15761544
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.87452452} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 107.402344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15761544 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.326479°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52320 KachelY 49067 1.87452452 -1.15761544 107.402344 -66.326479
    Oben rechts KachelX + 1 52321 KachelY 49067 1.87462040 -1.15761544 107.407837 -66.326479
    Unten links KachelX 52320 KachelY + 1 49068 1.87452452 -1.15765394 107.402344 -66.328685
    Unten rechts KachelX + 1 52321 KachelY + 1 49068 1.87462040 -1.15765394 107.407837 -66.328685
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15761544--1.15765394) × R
    3.85000000000524e-05 × 6371000     		dl = 245.283500000334m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15761544--1.15765394) × R
    3.85000000000524e-05 × 6371000     		dr = 245.283500000334m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.87452452-1.87462040) × cos(-1.15761544) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.401524564008537 × 6371000     		do = 245.271874180809m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.87452452-1.87462040) × cos(-1.15765394) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.401489303553184 × 6371000     		du = 245.250335279471m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15761544)-sin(-1.15765394))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401524564008537-0.401489303553184)×R²
    abs(1.87462040-1.87452452)×3.52604553532365e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.52604553532365e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.52604553532365e-05×40589641000000     		ar = 60158.5021894697m²