Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5231 / 1305
↖ ↑ ↗
← N 76.588356°
E 49.877930°		 ← 1 133.40 m → N 76.588356°
E 49.921875°		 →
↑
1 133.85 m
↓
↑
1 133.85 m
↓
N 76.578159°
E 49.877930°		 ← 1 134.25 m →
1 285 582 m²		 N 76.578159°
E 49.921875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5231 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.63861083984375 y=0.15936279296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.63861083984375 × 213)
    floor (0.63861083984375 × 8192)
    floor (5231.5)     		tx = 5231
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.15936279296875 × 213)
    floor (0.15936279296875 × 8192)
    floor (1305.5)     		ty = 1305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5231 / 1305 ti = "13/5231/1305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5231/1305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5231 ÷ 213
    5231 ÷ 8192     		x = 0.6385498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1305 ÷ 213
    1305 ÷ 8192     		y = 0.1593017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6385498046875 × 2 - 1) × π
    0.277099609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.87053410
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1593017578125 × 2 - 1) × π
    0.681396484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.14067018943323
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87053410} λ = 0.87053410}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14067018943323))-π/2
    2×atan(8.50513577137754)-π/2
    2×1.45375765338815-π/2
    2.9075153067763-1.57079632675     		φ = 1.33671898
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87053410} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.877930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33671898 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.588356°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5231 KachelY 1305 0.87053410 1.33671898 49.877930 76.588356
    Oben rechts KachelX + 1 5232 KachelY 1305 0.87130109 1.33671898 49.921875 76.588356
    Unten links KachelX 5231 KachelY + 1 1306 0.87053410 1.33654101 49.877930 76.578159
    Unten rechts KachelX + 1 5232 KachelY + 1 1306 0.87130109 1.33654101 49.921875 76.578159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33671898-1.33654101) × R
    0.000177969999999972 × 6371000     		dl = 1133.84686999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33671898-1.33654101) × R
    0.000177969999999972 × 6371000     		dr = 1133.84686999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87053410-0.87130109) × cos(1.33671898) × R
    0.000766990000000023 × 0.231945593057365 × 6371000     		do = 1133.40058411992m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87053410-0.87130109) × cos(1.33654101) × R
    0.000766990000000023 × 0.232118705920746 × 6371000     		du = 1134.24649896524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33671898)-sin(1.33654101))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.231945593057365-0.232118705920746)×R²
    abs(0.87130109-0.87053410)×0.000173112863381397×R²
    0.000766990000000023×0.000173112863381397×6371000²
    0.000766990000000023×0.000173112863381397×40589641000000     		ar = 1285582.27710569m²