Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5226 / 3226
↖ ↑ ↗
← N 80.827405°
W122.585449°		 ← 194.73 m → N 80.827405°
W122.574463°		 →
↑
194.76 m
↓
↑
194.76 m
↓
N 80.825653°
W122.585449°		 ← 194.77 m →
37 930 m²		 N 80.825653°
W122.574463°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5226 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.159500122070312 y=0.0984649658203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.159500122070312 × 215)
    floor (0.159500122070312 × 32768)
    floor (5226.5)     		tx = 5226
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0984649658203125 × 215)
    floor (0.0984649658203125 × 32768)
    floor (3226.5)     		ty = 3226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5226 / 3226 ti = "15/5226/3226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5226/3226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5226 ÷ 215
    5226 ÷ 32768     		x = 0.15948486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3226 ÷ 215
    3226 ÷ 32768     		y = 0.09844970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15948486328125 × 2 - 1) × π
    -0.6810302734375 × 3.1415926535     		Λ = -2.13951970
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09844970703125 × 2 - 1) × π
    0.8031005859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.5230149008028
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.13951970} λ = -2.13951970}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5230149008028))-π/2
    2×atan(12.4661241920982)-π/2
    2×1.49075033297143-π/2
    2.98150066594286-1.57079632675     		φ = 1.41070434
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.13951970} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.585449°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41070434 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.827405°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5226 KachelY 3226 -2.13951970 1.41070434 -122.585449 80.827405
    Oben rechts KachelX + 1 5227 KachelY 3226 -2.13932796 1.41070434 -122.574463 80.827405
    Unten links KachelX 5226 KachelY + 1 3227 -2.13951970 1.41067377 -122.585449 80.825653
    Unten rechts KachelX + 1 5227 KachelY + 1 3227 -2.13932796 1.41067377 -122.574463 80.825653
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41070434-1.41067377) × R
    3.0569999999841e-05 × 6371000     		dl = 194.761469998987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41070434-1.41067377) × R
    3.0569999999841e-05 × 6371000     		dr = 194.761469998987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.13951970--2.13932796) × cos(1.41070434) × R
    0.000191739999999996 × 0.159409017813709 × 6371000     		do = 194.730157016647m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.13951970--2.13932796) × cos(1.41067377) × R
    0.000191739999999996 × 0.159439196829135 × 6371000     		du = 194.767022963713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41070434)-sin(1.41067377))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159409017813709-0.159439196829135)×R²
    abs(-2.13932796--2.13951970)×3.01790154258186e-05×R²
    0.000191739999999996×3.01790154258186e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.01790154258186e-05×40589641000000     		ar = 37929.5216703967m²