Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5226 / 1271
↖ ↑ ↗
← N 76.930554°
E 49.658203°		 ← 1 104.99 m → N 76.930554°
E 49.702149°		 →
↑
1 105.37 m
↓
↑
1 105.37 m
↓
N 76.920614°
E 49.658203°		 ← 1 105.82 m →
1 221 880 m²		 N 76.920614°
E 49.702149°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5226 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1271 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.63800048828125 y=0.15521240234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.63800048828125 × 213)
    floor (0.63800048828125 × 8192)
    floor (5226.5)     		tx = 5226
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.15521240234375 × 213)
    floor (0.15521240234375 × 8192)
    floor (1271.5)     		ty = 1271
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5226 / 1271 ti = "13/5226/1271"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5226/1271.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5226 ÷ 213
    5226 ÷ 8192     		x = 0.637939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1271 ÷ 213
    1271 ÷ 8192     		y = 0.1551513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.637939453125 × 2 - 1) × π
    0.27587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.86669915
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1551513671875 × 2 - 1) × π
    0.689697265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.16674786282654
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86669915} λ = 0.86669915}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16674786282654))-π/2
    2×atan(8.72984716500984)-π/2
    2×1.45674390055515-π/2
    2.9134878011103-1.57079632675     		φ = 1.34269147
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86669915} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.658203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34269147 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.930554°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5226 KachelY 1271 0.86669915 1.34269147 49.658203 76.930554
    Oben rechts KachelX + 1 5227 KachelY 1271 0.86746614 1.34269147 49.702149 76.930554
    Unten links KachelX 5226 KachelY + 1 1272 0.86669915 1.34251797 49.658203 76.920614
    Unten rechts KachelX + 1 5227 KachelY + 1 1272 0.86746614 1.34251797 49.702149 76.920614
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34269147-1.34251797) × R
    0.000173500000000049 × 6371000     		dl = 1105.36850000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34269147-1.34251797) × R
    0.000173500000000049 × 6371000     		dr = 1105.36850000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86669915-0.86746614) × cos(1.34269147) × R
    0.000766990000000023 × 0.226131877988965 × 6371000     		do = 1104.99190444821m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86669915-0.86746614) × cos(1.34251797) × R
    0.000766990000000023 × 0.226300880361387 × 6371000     		du = 1105.81773340705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34269147)-sin(1.34251797))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226131877988965-0.226300880361387)×R²
    abs(0.86746614-0.86669915)×0.000169002372422317×R²
    0.000766990000000023×0.000169002372422317×6371000²
    0.000766990000000023×0.000169002372422317×40589641000000     		ar = 1221879.66965804m²