Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 5226 / 1269
↖ ↑ ↗
← N 76.950415°
E 49.658203°		 ← 1 103.34 m → N 76.950415°
E 49.702149°		 →
↑
1 103.78 m
↓
↑
1 103.78 m
↓
N 76.940488°
E 49.658203°		 ← 1 104.17 m →
1 218 297 m²		 N 76.940488°
E 49.702149°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5226 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1269 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.63800048828125 y=0.15496826171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.63800048828125 × 213)
    floor (0.63800048828125 × 8192)
    floor (5226.5)     		tx = 5226
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.15496826171875 × 213)
    floor (0.15496826171875 × 8192)
    floor (1269.5)     		ty = 1269
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5226 / 1269 ti = "13/5226/1269"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5226/1269.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5226 ÷ 213
    5226 ÷ 8192     		x = 0.637939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1269 ÷ 213
    1269 ÷ 8192     		y = 0.1549072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.637939453125 × 2 - 1) × π
    0.27587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.86669915
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1549072265625 × 2 - 1) × π
    0.690185546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.16828184361438
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86669915} λ = 0.86669915}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16828184361438))-π/2
    2×atan(8.74324885918449)-π/2
    2×1.45691721200944-π/2
    2.91383442401888-1.57079632675     		φ = 1.34303810
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86669915} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.658203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34303810 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.950415°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5226 KachelY 1269 0.86669915 1.34303810 49.658203 76.950415
    Oben rechts KachelX + 1 5227 KachelY 1269 0.86746614 1.34303810 49.702149 76.950415
    Unten links KachelX 5226 KachelY + 1 1270 0.86669915 1.34286485 49.658203 76.940488
    Unten rechts KachelX + 1 5227 KachelY + 1 1270 0.86746614 1.34286485 49.702149 76.940488
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34303810-1.34286485) × R
    0.000173250000000014 × 6371000     		dl = 1103.77575000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34303810-1.34286485) × R
    0.000173250000000014 × 6371000     		dr = 1103.77575000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86669915-0.86746614) × cos(1.34303810) × R
    0.000766990000000023 × 0.225794213272747 × 6371000     		do = 1103.34190807814m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86669915-0.86746614) × cos(1.34286485) × R
    0.000766990000000023 × 0.225962985705773 × 6371000     		du = 1104.16661343966m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34303810)-sin(1.34286485))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225794213272747-0.225962985705773)×R²
    abs(0.86746614-0.86669915)×0.000168772433026043×R²
    0.000766990000000023×0.000168772433026043×6371000²
    0.000766990000000023×0.000168772433026043×40589641000000     		ar = 1218297.19002966m²