Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52256 / 89120
↖ ↑ ↗
← S 54.213861°
W 36.474610°		 ← 178.60 m → S 54.213861°
W 36.471863°		 →
↑
178.64 m
↓
↑
178.64 m
↓
S 54.215467°
W 36.474610°		 ← 178.59 m →
31 905 m²		 S 54.215467°
W 36.471863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89120 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.398685455322266 y=0.679935455322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.398685455322266 × 217)
    floor (0.398685455322266 × 131072)
    floor (52256.5)     		tx = 52256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679935455322266 × 217)
    floor (0.679935455322266 × 131072)
    floor (89120.5)     		ty = 89120
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52256 / 89120 ti = "17/52256/89120"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52256/89120.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52256 ÷ 217
    52256 ÷ 131072     		x = 0.398681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89120 ÷ 217
    89120 ÷ 131072     		y = 0.679931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.398681640625 × 2 - 1) × π
    -0.20263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.63660203
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.679931640625 × 2 - 1) × π
    -0.35986328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.1305438406394
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.63660203} λ = -0.63660203}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1305438406394))-π/2
    2×atan(0.322857625571457)-π/2
    2×0.312292976066995-π/2
    0.624585952133991-1.57079632675     		φ = -0.94621037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.63660203} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -36.474610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94621037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.213861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52256 KachelY 89120 -0.63660203 -0.94621037 -36.474610 -54.213861
    Oben rechts KachelX + 1 52257 KachelY 89120 -0.63655409 -0.94621037 -36.471863 -54.213861
    Unten links KachelX 52256 KachelY + 1 89121 -0.63660203 -0.94623841 -36.474610 -54.215467
    Unten rechts KachelX + 1 52257 KachelY + 1 89121 -0.63655409 -0.94623841 -36.471863 -54.215467
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94621037--0.94623841) × R
    2.80400000000069e-05 × 6371000     		dl = 178.642840000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94621037--0.94623841) × R
    2.80400000000069e-05 × 6371000     		dr = 178.642840000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.63660203--0.63655409) × cos(-0.94621037) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.584761449028704 × 6371000     		do = 178.601198293361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.63660203--0.63655409) × cos(-0.94623841) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.584738702602058 × 6371000     		du = 178.59425094917m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94621037)-sin(-0.94623841))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.584761449028704-0.584738702602058)×R²
    abs(-0.63655409--0.63660203)×2.27464266462363e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.27464266462363e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.27464266462363e-05×40589641000000     		ar = 31905.2047459295m²