Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52242 / 49026
↖ ↑ ↗
← S 66.235885°
E106.973877°		 ← 246.13 m → S 66.235885°
E106.979370°		 →
↑
246.11 m
↓
↑
246.11 m
↓
S 66.238099°
E106.973877°		 ← 246.11 m →
60 573 m²		 S 66.238099°
E106.979370°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52242 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49026 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.797157287597656 y=0.748085021972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.797157287597656 × 216)
    floor (0.797157287597656 × 65536)
    floor (52242.5)     		tx = 52242
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748085021972656 × 216)
    floor (0.748085021972656 × 65536)
    floor (49026.5)     		ty = 49026
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52242 / 49026 ti = "16/52242/49026"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52242/49026.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52242 ÷ 216
    52242 ÷ 65536     		x = 0.797149658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49026 ÷ 216
    49026 ÷ 65536     		y = 0.748077392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.797149658203125 × 2 - 1) × π
    0.59429931640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.86704637
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748077392578125 × 2 - 1) × π
    -0.49615478515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.55871622804575
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.86704637} λ = 1.86704637}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55871622804575))-π/2
    2×atan(0.210406011229195)-π/2
    2×0.207381024845353-π/2
    0.414762049690705-1.57079632675     		φ = -1.15603428
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.86704637} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.973877°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15603428 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.235885°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52242 KachelY 49026 1.86704637 -1.15603428 106.973877 -66.235885
    Oben rechts KachelX + 1 52243 KachelY 49026 1.86714224 -1.15603428 106.979370 -66.235885
    Unten links KachelX 52242 KachelY + 1 49027 1.86704637 -1.15607291 106.973877 -66.238099
    Unten rechts KachelX + 1 52243 KachelY + 1 49027 1.86714224 -1.15607291 106.979370 -66.238099
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15603428--1.15607291) × R
    3.86299999999284e-05 × 6371000     		dl = 246.111729999544m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15603428--1.15607291) × R
    3.86299999999284e-05 × 6371000     		dr = 246.111729999544m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.86704637-1.86714224) × cos(-1.15603428) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.402972164111522 × 6371000     		do = 246.130469489745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.86704637-1.86714224) × cos(-1.15607291) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.402936809162223 × 6371000     		du = 246.108875119104m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15603428)-sin(-1.15607291))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.402972164111522-0.402936809162223)×R²
    abs(1.86714224-1.86704637)×3.53549492992378e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.53549492992378e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.53549492992378e-05×40589641000000     		ar = 60572.938345074m²