Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5224 / 3354
↖ ↑ ↗
← N 80.600499°
W122.607422°		 ← 199.51 m → N 80.600499°
W122.596435°		 →
↑
199.54 m
↓
↑
199.54 m
↓
N 80.598704°
W122.607422°		 ← 199.55 m →
39 815 m²		 N 80.598704°
W122.596435°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3354 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.159439086914062 y=0.102371215820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.159439086914062 × 215)
    floor (0.159439086914062 × 32768)
    floor (5224.5)     		tx = 5224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.102371215820312 × 215)
    floor (0.102371215820312 × 32768)
    floor (3354.5)     		ty = 3354
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5224 / 3354 ti = "15/5224/3354"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5224/3354.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5224 ÷ 215
    5224 ÷ 32768     		x = 0.159423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3354 ÷ 215
    3354 ÷ 32768     		y = 0.10235595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.159423828125 × 2 - 1) × π
    -0.68115234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.13990320
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10235595703125 × 2 - 1) × π
    0.7952880859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.49847120819733
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.13990320} λ = -2.13990320}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49847120819733))-π/2
    2×atan(12.1638836930372)-π/2
    2×1.48877020283095-π/2
    2.9775404056619-1.57079632675     		φ = 1.40674408
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.13990320} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.607422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40674408 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.600499°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5224 KachelY 3354 -2.13990320 1.40674408 -122.607422 80.600499
    Oben rechts KachelX + 1 5225 KachelY 3354 -2.13971145 1.40674408 -122.596435 80.600499
    Unten links KachelX 5224 KachelY + 1 3355 -2.13990320 1.40671276 -122.607422 80.598704
    Unten rechts KachelX + 1 5225 KachelY + 1 3355 -2.13971145 1.40671276 -122.596435 80.598704
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40674408-1.40671276) × R
    3.13199999999458e-05 × 6371000     		dl = 199.539719999655m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40674408-1.40671276) × R
    3.13199999999458e-05 × 6371000     		dr = 199.539719999655m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.13990320--2.13971145) × cos(1.40674408) × R
    0.000191749999999935 × 0.163317376203902 × 6371000     		do = 199.514916977635m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.13990320--2.13971145) × cos(1.40671276) × R
    0.000191749999999935 × 0.163348275608413 × 6371000     		du = 199.552664902988m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40674408)-sin(1.40671276))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163317376203902-0.163348275608413)×R²
    abs(-2.13971145--2.13990320)×3.08994045112865e-05×R²
    0.000191749999999935×3.08994045112865e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.08994045112865e-05×40589641000000     		ar = 39814.9167777358m²