Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52236 / 89052
↖ ↑ ↗
← S 54.104502°
W 36.529541°		 ← 179.04 m → S 54.104502°
W 36.526795°		 →
↑
179.09 m
↓
↑
179.09 m
↓
S 54.106113°
W 36.529541°		 ← 179.03 m →
32 063 m²		 S 54.106113°
W 36.526795°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52236 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89052 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.398532867431641 y=0.679416656494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.398532867431641 × 217)
    floor (0.398532867431641 × 131072)
    floor (52236.5)     		tx = 52236
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679416656494141 × 217)
    floor (0.679416656494141 × 131072)
    floor (89052.5)     		ty = 89052
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52236 / 89052 ti = "17/52236/89052"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52236/89052.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52236 ÷ 217
    52236 ÷ 131072     		x = 0.398529052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89052 ÷ 217
    89052 ÷ 131072     		y = 0.679412841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.398529052734375 × 2 - 1) × π
    -0.20294189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.63756076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.679412841796875 × 2 - 1) × π
    -0.35882568359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.12728413146524
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.63756076} λ = -0.63756076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12728413146524))-π/2
    2×atan(0.323911764695554)-π/2
    2×0.313247312829693-π/2
    0.626494625659387-1.57079632675     		φ = -0.94430170
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.63756076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -36.529541°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94430170 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.104502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52236 KachelY 89052 -0.63756076 -0.94430170 -36.529541 -54.104502
    Oben rechts KachelX + 1 52237 KachelY 89052 -0.63751283 -0.94430170 -36.526795 -54.104502
    Unten links KachelX 52236 KachelY + 1 89053 -0.63756076 -0.94432981 -36.529541 -54.106113
    Unten rechts KachelX + 1 52237 KachelY + 1 89053 -0.63751283 -0.94432981 -36.526795 -54.106113
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94430170--0.94432981) × R
    2.81100000000256e-05 × 6371000     		dl = 179.088810000163m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94430170--0.94432981) × R
    2.81100000000256e-05 × 6371000     		dr = 179.088810000163m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.63756076--0.63751283) × cos(-0.94430170) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.58630870617028 × 6371000     		do = 179.036416722525m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.63756076--0.63751283) × cos(-0.94432981) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.586285934373058 × 6371000     		du = 179.029463080299m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94430170)-sin(-0.94432981))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58630870617028-0.586285934373058)×R²
    abs(-0.63751283--0.63756076)×2.27717972226538e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.27717972226538e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.27717972226538e-05×40589641000000     		ar = 32062.7961598413m²