Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52236 / 89051
↖ ↑ ↗
← S 54.102891°
W 36.529541°		 ← 179.04 m → S 54.102891°
W 36.526795°		 →
↑
179.09 m
↓
↑
179.09 m
↓
S 54.104502°
W 36.529541°		 ← 179.04 m →
32 064 m²		 S 54.104502°
W 36.526795°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52236 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89051 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.398532867431641 y=0.679409027099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.398532867431641 × 217)
    floor (0.398532867431641 × 131072)
    floor (52236.5)     		tx = 52236
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679409027099609 × 217)
    floor (0.679409027099609 × 131072)
    floor (89051.5)     		ty = 89051
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52236 / 89051 ti = "17/52236/89051"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52236/89051.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52236 ÷ 217
    52236 ÷ 131072     		x = 0.398529052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89051 ÷ 217
    89051 ÷ 131072     		y = 0.679405212402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.398529052734375 × 2 - 1) × π
    -0.20294189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.63756076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.679405212402344 × 2 - 1) × π
    -0.358810424804688 × 3.1415926535     		Φ = -1.12723619456562
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.63756076} λ = -0.63756076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12723619456562))-π/2
    2×atan(0.323927292393476)-π/2
    2×0.313261366013329-π/2
    0.626522732026658-1.57079632675     		φ = -0.94427359
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.63756076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -36.529541°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94427359 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.102891°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52236 KachelY 89051 -0.63756076 -0.94427359 -36.529541 -54.102891
    Oben rechts KachelX + 1 52237 KachelY 89051 -0.63751283 -0.94427359 -36.526795 -54.102891
    Unten links KachelX 52236 KachelY + 1 89052 -0.63756076 -0.94430170 -36.529541 -54.104502
    Unten rechts KachelX + 1 52237 KachelY + 1 89052 -0.63751283 -0.94430170 -36.526795 -54.104502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94427359--0.94430170) × R
    2.81100000000256e-05 × 6371000     		dl = 179.088810000163m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94427359--0.94430170) × R
    2.81100000000256e-05 × 6371000     		dr = 179.088810000163m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.63756076--0.63751283) × cos(-0.94427359) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.586331477504218 × 6371000     		do = 179.043370223282m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.63756076--0.63751283) × cos(-0.94430170) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.58630870617028 × 6371000     		du = 179.036416722525m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94427359)-sin(-0.94430170))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.586331477504218-0.58630870617028)×R²
    abs(-0.63751283--0.63756076)×2.27713339377988e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.27713339377988e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.27713339377988e-05×40589641000000     		ar = 32064.0414667538m²