Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52231 / 89049
↖ ↑ ↗
← S 54.099671°
W 36.543274°		 ← 179.09 m → S 54.099671°
W 36.540527°		 →
↑
179.09 m
↓
↑
179.09 m
↓
S 54.101281°
W 36.543274°		 ← 179.09 m →
32 073 m²		 S 54.101281°
W 36.540527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52231 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89049 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.398494720458984 y=0.679393768310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.398494720458984 × 217)
    floor (0.398494720458984 × 131072)
    floor (52231.5)     		tx = 52231
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679393768310547 × 217)
    floor (0.679393768310547 × 131072)
    floor (89049.5)     		ty = 89049
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52231 / 89049 ti = "17/52231/89049"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52231/89049.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52231 ÷ 217
    52231 ÷ 131072     		x = 0.398490905761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89049 ÷ 217
    89049 ÷ 131072     		y = 0.679389953613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.398490905761719 × 2 - 1) × π
    -0.203018188476562 × 3.1415926535     		Λ = -0.63780045
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.679389953613281 × 2 - 1) × π
    -0.358779907226562 × 3.1415926535     		Φ = -1.12714032076638
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.63780045} λ = -0.63780045}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12714032076638))-π/2
    2×atan(0.323958350022458)-π/2
    2×0.313289474017795-π/2
    0.626578948035589-1.57079632675     		φ = -0.94421738
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.63780045} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -36.543274°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94421738 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.099671°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52231 KachelY 89049 -0.63780045 -0.94421738 -36.543274 -54.099671
    Oben rechts KachelX + 1 52232 KachelY 89049 -0.63775251 -0.94421738 -36.540527 -54.099671
    Unten links KachelX 52231 KachelY + 1 89050 -0.63780045 -0.94424549 -36.543274 -54.101281
    Unten rechts KachelX + 1 52232 KachelY + 1 89050 -0.63775251 -0.94424549 -36.540527 -54.101281
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94421738--0.94424549) × R
    2.81100000000256e-05 × 6371000     		dl = 179.088810000163m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94421738--0.94424549) × R
    2.81100000000256e-05 × 6371000     		dr = 179.088810000163m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.63780045--0.63775251) × cos(-0.94421738) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.586377010681785 × 6371000     		do = 179.094632406355m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.63780045--0.63775251) × cos(-0.94424549) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.586354240274306 × 6371000     		du = 179.0876777378m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94421738)-sin(-0.94424549))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.586377010681785-0.586354240274306)×R²
    abs(-0.63775251--0.63780045)×2.27704074791113e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.27704074791113e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.27704074791113e-05×40589641000000     		ar = 32073.2218454461m²