Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52230 / 89050
↖ ↑ ↗
← S 54.101281°
W 36.546021°		 ← 179.09 m → S 54.101281°
W 36.543274°		 →
↑
179.03 m
↓
↑
179.03 m
↓
S 54.102891°
W 36.546021°		 ← 179.08 m →
32 061 m²		 S 54.102891°
W 36.543274°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52230 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89050 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.398487091064453 y=0.679401397705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.398487091064453 × 217)
    floor (0.398487091064453 × 131072)
    floor (52230.5)     		tx = 52230
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679401397705078 × 217)
    floor (0.679401397705078 × 131072)
    floor (89050.5)     		ty = 89050
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52230 / 89050 ti = "17/52230/89050"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52230/89050.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52230 ÷ 217
    52230 ÷ 131072     		x = 0.398483276367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89050 ÷ 217
    89050 ÷ 131072     		y = 0.679397583007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.398483276367188 × 2 - 1) × π
    -0.203033447265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.63784839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.679397583007812 × 2 - 1) × π
    -0.358795166015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.127188257666
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.63784839} λ = -0.63784839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.127188257666))-π/2
    2×atan(0.323942820835765)-π/2
    2×0.313275419742693-π/2
    0.626550839485385-1.57079632675     		φ = -0.94424549
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.63784839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -36.546021°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94424549 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.101281°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52230 KachelY 89050 -0.63784839 -0.94424549 -36.546021 -54.101281
    Oben rechts KachelX + 1 52231 KachelY 89050 -0.63780045 -0.94424549 -36.543274 -54.101281
    Unten links KachelX 52230 KachelY + 1 89051 -0.63784839 -0.94427359 -36.546021 -54.102891
    Unten rechts KachelX + 1 52231 KachelY + 1 89051 -0.63780045 -0.94427359 -36.543274 -54.102891
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94424549--0.94427359) × R
    2.80999999999754e-05 × 6371000     		dl = 179.025099999843m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94424549--0.94427359) × R
    2.80999999999754e-05 × 6371000     		dr = 179.025099999843m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.63784839--0.63780045) × cos(-0.94424549) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.586354240274306 × 6371000     		do = 179.087677738215m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.63784839--0.63780045) × cos(-0.94427359) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.586331477504218 × 6371000     		du = 179.080725402316m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94424549)-sin(-0.94427359))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.586354240274306-0.586331477504218)×R²
    abs(-0.63780045--0.63784839)×2.27627700875033e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.27627700875033e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.27627700875033e-05×40589641000000     		ar = 32060.5670966449m²