Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52229 / 89046
↖ ↑ ↗
← S 54.094839°
W 36.548767°		 ← 179.08 m → S 54.094839°
W 36.546021°		 →
↑
179.09 m
↓
↑
179.09 m
↓
S 54.096450°
W 36.548767°		 ← 179.07 m →
32 070 m²		 S 54.096450°
W 36.546021°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52229 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89046 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.398479461669922 y=0.679370880126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.398479461669922 × 217)
    floor (0.398479461669922 × 131072)
    floor (52229.5)     		tx = 52229
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679370880126953 × 217)
    floor (0.679370880126953 × 131072)
    floor (89046.5)     		ty = 89046
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52229 / 89046 ti = "17/52229/89046"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52229/89046.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52229 ÷ 217
    52229 ÷ 131072     		x = 0.398475646972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89046 ÷ 217
    89046 ÷ 131072     		y = 0.679367065429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.398475646972656 × 2 - 1) × π
    -0.203048706054688 × 3.1415926535     		Λ = -0.63789632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.679367065429688 × 2 - 1) × π
    -0.358734130859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.12699651006752
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.63789632} λ = -0.63789632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12699651006752))-π/2
    2×atan(0.324004942049312)-π/2
    2×0.31333164011763-π/2
    0.626663280235261-1.57079632675     		φ = -0.94413305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.63789632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -36.548767°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94413305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.094839°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52229 KachelY 89046 -0.63789632 -0.94413305 -36.548767 -54.094839
    Oben rechts KachelX + 1 52230 KachelY 89046 -0.63784839 -0.94413305 -36.546021 -54.094839
    Unten links KachelX 52229 KachelY + 1 89047 -0.63789632 -0.94416116 -36.548767 -54.096450
    Unten rechts KachelX + 1 52230 KachelY + 1 89047 -0.63784839 -0.94416116 -36.546021 -54.096450
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94413305--0.94416116) × R
    2.81100000000256e-05 × 6371000     		dl = 179.088810000163m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94413305--0.94416116) × R
    2.81100000000256e-05 × 6371000     		dr = 179.088810000163m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.63789632--0.63784839) × cos(-0.94413305) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.586445319124118 × 6371000     		do = 179.078133131433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.63789632--0.63784839) × cos(-0.94416116) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.586422550106709 × 6371000     		du = 179.071180338056m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94413305)-sin(-0.94416116))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.586445319124118-0.586422550106709)×R²
    abs(-0.63784839--0.63789632)×2.27690174089412e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.27690174089412e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.27690174089412e-05×40589641000000     		ar = 32070.2671777476m²