Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52228 / 49096
↖ ↑ ↗
← S 66.390362°
E106.896972°		 ← 244.65 m → S 66.390362°
E106.902466°		 →
↑
244.58 m
↓
↑
244.58 m
↓
S 66.392561°
E106.896972°		 ← 244.63 m →
59 834 m²		 S 66.392561°
E106.902466°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52228 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49096 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.796943664550781 y=0.749153137207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.796943664550781 × 216)
    floor (0.796943664550781 × 65536)
    floor (52228.5)     		tx = 52228
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749153137207031 × 216)
    floor (0.749153137207031 × 65536)
    floor (49096.5)     		ty = 49096
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52228 / 49096 ti = "16/52228/49096"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52228/49096.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52228 ÷ 216
    52228 ÷ 65536     		x = 0.79693603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49096 ÷ 216
    49096 ÷ 65536     		y = 0.7491455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.79693603515625 × 2 - 1) × π
    0.5938720703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.86570413
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7491455078125 × 2 - 1) × π
    -0.498291015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.56542739399255
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.86570413} λ = 1.86570413}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56542739399255))-π/2
    2×atan(0.208998669306414)-π/2
    2×0.206032964172092-π/2
    0.412065928344185-1.57079632675     		φ = -1.15873040
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.86570413} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.896972°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15873040 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.390362°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52228 KachelY 49096 1.86570413 -1.15873040 106.896972 -66.390362
    Oben rechts KachelX + 1 52229 KachelY 49096 1.86580001 -1.15873040 106.902466 -66.390362
    Unten links KachelX 52228 KachelY + 1 49097 1.86570413 -1.15876879 106.896972 -66.392561
    Unten rechts KachelX + 1 52229 KachelY + 1 49097 1.86580001 -1.15876879 106.902466 -66.392561
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15873040--1.15876879) × R
    3.83900000000548e-05 × 6371000     		dl = 244.582690000349m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15873040--1.15876879) × R
    3.83900000000548e-05 × 6371000     		dr = 244.582690000349m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.86570413-1.86580001) × cos(-1.15873040) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.400503180475984 × 6371000     		do = 244.647960538868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.86570413-1.86580001) × cos(-1.15876879) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.400468003601664 × 6371000     		du = 244.626472693128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15873040)-sin(-1.15876879))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400503180475984-0.400468003601664)×R²
    abs(1.86580001-1.86570413)×3.51768743193093e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.51768743193093e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.51768743193093e-05×40589641000000     		ar = 59834.0285214989m²