Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52227 / 89043
↖ ↑ ↗
← S 54.090006°
W 36.554260°		 ← 179.14 m → S 54.090006°
W 36.551514°		 →
↑
179.15 m
↓
↑
179.15 m
↓
S 54.091617°
W 36.554260°		 ← 179.13 m →
32 092 m²		 S 54.091617°
W 36.551514°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52227 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89043 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.398464202880859 y=0.679347991943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.398464202880859 × 217)
    floor (0.398464202880859 × 131072)
    floor (52227.5)     		tx = 52227
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679347991943359 × 217)
    floor (0.679347991943359 × 131072)
    floor (89043.5)     		ty = 89043
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52227 / 89043 ti = "17/52227/89043"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52227/89043.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52227 ÷ 217
    52227 ÷ 131072     		x = 0.398460388183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89043 ÷ 217
    89043 ÷ 131072     		y = 0.679344177246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.398460388183594 × 2 - 1) × π
    -0.203079223632812 × 3.1415926535     		Λ = -0.63799220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.679344177246094 × 2 - 1) × π
    -0.358688354492188 × 3.1415926535     		Φ = -1.12685269936866
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.63799220} λ = -0.63799220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12685269936866))-π/2
    2×atan(0.32405154077708)-π/2
    2×0.313373811129473-π/2
    0.626747622258945-1.57079632675     		φ = -0.94404870
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.63799220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -36.554260°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94404870 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.090006°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52227 KachelY 89043 -0.63799220 -0.94404870 -36.554260 -54.090006
    Oben rechts KachelX + 1 52228 KachelY 89043 -0.63794426 -0.94404870 -36.551514 -54.090006
    Unten links KachelX 52227 KachelY + 1 89044 -0.63799220 -0.94407682 -36.554260 -54.091617
    Unten rechts KachelX + 1 52228 KachelY + 1 89044 -0.63794426 -0.94407682 -36.551514 -54.091617
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94404870--0.94407682) × R
    2.81200000000759e-05 × 6371000     		dl = 179.152520000483m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94404870--0.94407682) × R
    2.81200000000759e-05 × 6371000     		dr = 179.152520000483m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.63799220--0.63794426) × cos(-0.94404870) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.586513639594703 × 6371000     		do = 179.136362393188m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.63799220--0.63794426) × cos(-0.94407682) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.586490863868298 × 6371000     		du = 179.129406100097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94404870)-sin(-0.94407682))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.586513639594703-0.586490863868298)×R²
    abs(-0.63794426--0.63799220)×2.27757264054107e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.27757264054107e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.27757264054107e-05×40589641000000     		ar = 32092.1076298231m²