Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5222 / 3046
↖ ↑ ↗
← N 81.137331°
W122.629394°		 ← 188.20 m → N 81.137331°
W122.618408°		 →
↑
188.26 m
↓
↑
188.26 m
↓
N 81.135638°
W122.629394°		 ← 188.24 m →
35 435 m²		 N 81.135638°
W122.618408°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5222 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3046 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.159378051757812 y=0.0929718017578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.159378051757812 × 215)
    floor (0.159378051757812 × 32768)
    floor (5222.5)     		tx = 5222
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0929718017578125 × 215)
    floor (0.0929718017578125 × 32768)
    floor (3046.5)     		ty = 3046
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5222 / 3046 ti = "15/5222/3046"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5222/3046.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5222 ÷ 215
    5222 ÷ 32768     		x = 0.15936279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3046 ÷ 215
    3046 ÷ 32768     		y = 0.09295654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15936279296875 × 2 - 1) × π
    -0.6812744140625 × 3.1415926535     		Λ = -2.14028669
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09295654296875 × 2 - 1) × π
    0.8140869140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.55752946852924
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14028669} λ = -2.14028669}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55752946852924))-π/2
    2×atan(12.9038984163223)-π/2
    2×1.49345494701329-π/2
    2.98690989402658-1.57079632675     		φ = 1.41611357
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14028669} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.629394°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41611357 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.137331°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5222 KachelY 3046 -2.14028669 1.41611357 -122.629394 81.137331
    Oben rechts KachelX + 1 5223 KachelY 3046 -2.14009495 1.41611357 -122.618408 81.137331
    Unten links KachelX 5222 KachelY + 1 3047 -2.14028669 1.41608402 -122.629394 81.135638
    Unten rechts KachelX + 1 5223 KachelY + 1 3047 -2.14009495 1.41608402 -122.618408 81.135638
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41611357-1.41608402) × R
    2.95500000000448e-05 × 6371000     		dl = 188.263050000286m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41611357-1.41608402) × R
    2.95500000000448e-05 × 6371000     		dr = 188.263050000286m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14028669--2.14009495) × cos(1.41611357) × R
    0.000191739999999996 × 0.154066651583042 × 6371000     		do = 188.204053103542m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14028669--2.14009495) × cos(1.41608402) × R
    0.000191739999999996 × 0.154095848702279 × 6371000     		du = 188.23971959024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41611357)-sin(1.41608402))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154066651583042-0.154095848702279)×R²
    abs(-2.14009495--2.14028669)×2.9197119237212e-05×R²
    0.000191739999999996×2.9197119237212e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.9197119237212e-05×40589641000000     		ar = 35435.2264030273m²