Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52201 / 89032
↖ ↑ ↗
← S 54.072283°
W 36.625672°		 ← 179.21 m → S 54.072283°
W 36.622925°		 →
↑
179.15 m
↓
↑
179.15 m
↓
S 54.073894°
W 36.625672°		 ← 179.21 m →
32 106 m²		 S 54.073894°
W 36.622925°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52201 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89032 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.398265838623047 y=0.679264068603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.398265838623047 × 217)
    floor (0.398265838623047 × 131072)
    floor (52201.5)     		tx = 52201
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679264068603516 × 217)
    floor (0.679264068603516 × 131072)
    floor (89032.5)     		ty = 89032
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52201 / 89032 ti = "17/52201/89032"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52201/89032.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52201 ÷ 217
    52201 ÷ 131072     		x = 0.398262023925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89032 ÷ 217
    89032 ÷ 131072     		y = 0.67926025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.398262023925781 × 2 - 1) × π
    -0.203475952148438 × 3.1415926535     		Λ = -0.63923856
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67926025390625 × 2 - 1) × π
    -0.3585205078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.12632539347284
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.63923856} λ = -0.63923856}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12632539347284))-π/2
    2×atan(0.324222460124511)-π/2
    2×0.313528480202238-π/2
    0.627056960404475-1.57079632675     		φ = -0.94373937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.63923856} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -36.625672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94373937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.072283°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52201 KachelY 89032 -0.63923856 -0.94373937 -36.625672 -54.072283
    Oben rechts KachelX + 1 52202 KachelY 89032 -0.63919062 -0.94373937 -36.622925 -54.072283
    Unten links KachelX 52201 KachelY + 1 89033 -0.63923856 -0.94376749 -36.625672 -54.073894
    Unten rechts KachelX + 1 52202 KachelY + 1 89033 -0.63919062 -0.94376749 -36.622925 -54.073894
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94373937--0.94376749) × R
    2.81200000000759e-05 × 6371000     		dl = 179.152520000483m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94373937--0.94376749) × R
    2.81200000000759e-05 × 6371000     		dr = 179.152520000483m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.63923856--0.63919062) × cos(-0.94373937) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.586764150069529 × 6371000     		do = 179.212874740339m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.63923856--0.63919062) × cos(-0.94376749) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.586741379445821 × 6371000     		du = 179.205920005743m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94373937)-sin(-0.94376749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.586764150069529-0.586741379445821)×R²
    abs(-0.63919062--0.63923856)×2.2770623708368e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.2770623708368e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.2770623708368e-05×40589641000000     		ar = 32105.8151491693m²