Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5219 / 3047
↖ ↑ ↗
← N 81.135638°
W122.662354°		 ← 188.25 m → N 81.135638°
W122.651367°		 →
↑
188.26 m
↓
↑
188.26 m
↓
N 81.133945°
W122.662354°		 ← 188.29 m →
35 444 m²		 N 81.133945°
W122.651367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5219 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3047 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.159286499023438 y=0.0930023193359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.159286499023438 × 215)
    floor (0.159286499023438 × 32768)
    floor (5219.5)     		tx = 5219
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0930023193359375 × 215)
    floor (0.0930023193359375 × 32768)
    floor (3047.5)     		ty = 3047
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5219 / 3047 ti = "15/5219/3047"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5219/3047.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5219 ÷ 215
    5219 ÷ 32768     		x = 0.159271240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3047 ÷ 215
    3047 ÷ 32768     		y = 0.092987060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.159271240234375 × 2 - 1) × π
    -0.68145751953125 × 3.1415926535     		Λ = -2.14086194
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.092987060546875 × 2 - 1) × π
    0.81402587890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.55733772093076
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14086194} λ = -2.14086194}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55733772093076))-π/2
    2×atan(12.9014243619945)-π/2
    2×1.49344017465848-π/2
    2.98688034931696-1.57079632675     		φ = 1.41608402
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14086194} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.662354°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41608402 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.135638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5219 KachelY 3047 -2.14086194 1.41608402 -122.662354 81.135638
    Oben rechts KachelX + 1 5220 KachelY 3047 -2.14067019 1.41608402 -122.651367 81.135638
    Unten links KachelX 5219 KachelY + 1 3048 -2.14086194 1.41605447 -122.662354 81.133945
    Unten rechts KachelX + 1 5220 KachelY + 1 3048 -2.14067019 1.41605447 -122.651367 81.133945
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41608402-1.41605447) × R
    2.95500000000448e-05 × 6371000     		dl = 188.263050000286m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41608402-1.41605447) × R
    2.95500000000448e-05 × 6371000     		dr = 188.263050000286m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14086194--2.14067019) × cos(1.41608402) × R
    0.000191750000000379 × 0.154095848702279 × 6371000     		do = 188.249537037138m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14086194--2.14067019) × cos(1.41605447) × R
    0.000191750000000379 × 0.154125045686959 × 6371000     		du = 188.285205219605m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41608402)-sin(1.41605447))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154095848702279-0.154125045686959)×R²
    abs(-2.14067019--2.14086194)×2.91969846802909e-05×R²
    0.000191750000000379×2.91969846802909e-05×6371000²
    0.000191750000000379×2.91969846802909e-05×40589641000000     		ar = 35443.7895064667m²