Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5218 / 3170
↖ ↑ ↗
← N 80.924961°
W122.673340°		 ← 192.68 m → N 80.924961°
W122.662354°		 →
↑
192.72 m
↓
↑
192.72 m
↓
N 80.923227°
W122.673340°		 ← 192.71 m →
37 137 m²		 N 80.923227°
W122.662354°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5218 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3170 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.159255981445312 y=0.0967559814453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.159255981445312 × 215)
    floor (0.159255981445312 × 32768)
    floor (5218.5)     		tx = 5218
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0967559814453125 × 215)
    floor (0.0967559814453125 × 32768)
    floor (3170.5)     		ty = 3170
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5218 / 3170 ti = "15/5218/3170"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5218/3170.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5218 ÷ 215
    5218 ÷ 32768     		x = 0.15924072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3170 ÷ 215
    3170 ÷ 32768     		y = 0.09674072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15924072265625 × 2 - 1) × π
    -0.6815185546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.14105368
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09674072265625 × 2 - 1) × π
    0.8065185546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.53375276631769
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14105368} λ = -2.14105368}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53375276631769))-π/2
    2×atan(12.6007050194628)-π/2
    2×1.49160166857121-π/2
    2.98320333714242-1.57079632675     		φ = 1.41240701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14105368} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.673340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41240701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.924961°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5218 KachelY 3170 -2.14105368 1.41240701 -122.673340 80.924961
    Oben rechts KachelX + 1 5219 KachelY 3170 -2.14086194 1.41240701 -122.662354 80.924961
    Unten links KachelX 5218 KachelY + 1 3171 -2.14105368 1.41237676 -122.673340 80.923227
    Unten rechts KachelX + 1 5219 KachelY + 1 3171 -2.14086194 1.41237676 -122.662354 80.923227
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41240701-1.41237676) × R
    3.02500000000094e-05 × 6371000     		dl = 192.72275000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41240701-1.41237676) × R
    3.02500000000094e-05 × 6371000     		dr = 192.72275000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14105368--2.14086194) × cos(1.41240701) × R
    0.000191739999999996 × 0.157727890237232 × 6371000     		do = 192.676532689604m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14105368--2.14086194) × cos(1.41237676) × R
    0.000191739999999996 × 0.157757761514131 × 6371000     		du = 192.713022710812m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41240701)-sin(1.41237676))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157727890237232-0.157757761514131)×R²
    abs(-2.14086194--2.14105368)×2.98712768987686e-05×R²
    0.000191739999999996×2.98712768987686e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.98712768987686e-05×40589641000000     		ar = 37136.6674725114m²