Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5218 / 3044
↖ ↑ ↗
← N 81.140715°
W122.673340°		 ← 188.13 m → N 81.140715°
W122.662354°		 →
↑
188.14 m
↓
↑
188.14 m
↓
N 81.139023°
W122.673340°		 ← 188.17 m →
35 398 m²		 N 81.139023°
W122.662354°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5218 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.159255981445312 y=0.0929107666015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.159255981445312 × 215)
    floor (0.159255981445312 × 32768)
    floor (5218.5)     		tx = 5218
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0929107666015625 × 215)
    floor (0.0929107666015625 × 32768)
    floor (3044.5)     		ty = 3044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5218 / 3044 ti = "15/5218/3044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5218/3044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5218 ÷ 215
    5218 ÷ 32768     		x = 0.15924072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3044 ÷ 215
    3044 ÷ 32768     		y = 0.0928955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15924072265625 × 2 - 1) × π
    -0.6815185546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.14105368
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0928955078125 × 2 - 1) × π
    0.814208984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.5579129637262
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14105368} λ = -2.14105368}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5579129637262))-π/2
    2×atan(12.9088479483873)-π/2
    2×1.49348448332799-π/2
    2.98696896665599-1.57079632675     		φ = 1.41617264
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14105368} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.673340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41617264 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.140715°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5218 KachelY 3044 -2.14105368 1.41617264 -122.673340 81.140715
    Oben rechts KachelX + 1 5219 KachelY 3044 -2.14086194 1.41617264 -122.662354 81.140715
    Unten links KachelX 5218 KachelY + 1 3045 -2.14105368 1.41614311 -122.673340 81.139023
    Unten rechts KachelX + 1 5219 KachelY + 1 3045 -2.14086194 1.41614311 -122.662354 81.139023
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41617264-1.41614311) × R
    2.95300000001664e-05 × 6371000     		dl = 188.13563000106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41617264-1.41614311) × R
    2.95300000001664e-05 × 6371000     		dr = 188.13563000106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14105368--2.14086194) × cos(1.41617264) × R
    0.000191739999999996 × 0.154008286583085 × 6371000     		do = 188.132755847203m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14105368--2.14086194) × cos(1.41614311) × R
    0.000191739999999996 × 0.154037464209923 × 6371000     		du = 188.168398522464m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41617264)-sin(1.41614311))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154008286583085-0.154037464209923)×R²
    abs(-2.14086194--2.14105368)×2.91776268379063e-05×R²
    0.000191739999999996×2.91776268379063e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.91776268379063e-05×40589641000000     		ar = 35397.8273759982m²